Chapitre 09 : THÉORÈME DE PYTHAGORE

(1)

http://mathsreibel.free.fr 1

Chapitre 09 :

THÉORÈME DE PYTHAGORE

0) Pourquoi Pythagore ? :

I) Introduction :

(2)

II) Vocabulaire :

1) Définition : Hypoténuse :

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.

Exemple :

Dans le triangle ABC ci-dessus,

le côté [AC] est le côté opposé à l’angle droit, c’est l’hypoténuse du triangle rectangle ABC.

Exercice :

Repasser en rouge les hypoténuses :

2) Propriété :

L’hypoténuse est toujours le côté le plus long du triangle rectangle.

: D’après la définition, l’hypoténuse n’est défini que dans les triangles rectangles.

III) Théorème de Pythagore :

(Pour calculer la longueur du troisième côté d’un triangle rectangle) (Pour montrer qu’un triangle N’est PAS rectangle)

1) Théorème :

Dans un triangle rectangle,

l'aire du carré construit sur l’hypoténuse est égal à

la somme des aires des carrés construits sur les côtés de l’angle droit.

Dans la figure ci-contre, Aire du carré

Rouge = Aire du carré

Bleu + Aire du carré Vert Mathématiquement :

Si ABC est un triangle rectangle en A, alors BC² = AB² + AC² Exercices :

Déterminer les valeurs manquantes des figures ci-dessous :

1. 2. 3. 4.

Hypoténuse

(3)

http://mathsreibel.free.fr 3 2) Exercice rédigé : Calcul de longueur :

Enoncé : ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 4 cm et BC = 5 cm.

Calculer AC.

Solution : Schéma :

Données : Conclusions :

Ou encore : BC² = AB² + AC²

Aire du

Carré Rouge = Aire du

Carré Bleu + Aire du Carré Vert Théorème de

Pythagore

Diagramme :

ABC un triangle rectangle en A.

Théorème de

Pythagore BC² = AB² + AC²

Rédaction :

Le triangle ABC est rectangle en A.

D’après le théorème de Pythagore, BC² = AB² + AC²

En remplaçant par les valeurs numériques, on obtient : 5²= 4²+𝐀C²

25 = 16 +𝐀C² → 𝐀C² est le nombre qui additionné à 16 donne 25, donc 𝐀C²= 25 − 16 𝐀C²= 25 − 16

𝐀C²= 9 → l’aire du carré de côté 𝐀C est égale à 9, donc 𝐀C = √(9).

𝐀C = √(9) 𝐀C = 3 𝑐𝑚.

3) Exercice rédigé : Prouver qu’un triangle N’est PAS rectangle :

Enoncé : ABC est un triangle tel que AB = 2 cm, BC = 4 cm et AC = 3 cm.

Montrer que le triangle ABC n’est pas rectangle.

Solution :

Si le triangle ABC était rectangle,

il le serait en A (car [BC] est le plus grand côté).

D’après le théorème de Pythagore, on aurait : BC² = AB² + AC²

Or :

BC²= 4²= 16 et

AB²+AC²= 2²+ 3²= 4 + 9 = 13 Donc :

Le triangle ABC N’est PAS rectangle.

BC² ≠ AB² + AC²

(4)

http://mathsreibel.free.fr 4 4) Démonstration :

Dans le triangle rectangle ci-contre, on veut démontrer que : 𝑎²+ 𝑏² = 𝑐²

On considère un carré 𝐴𝐷𝐹𝐺 de côté (𝑎 + 𝑏), dans lequel on place 4 triangles rectangles de côtés 𝑎, 𝑏 et 𝑐 : Montrons que 𝑪𝑯𝑬̂ = 90° :

On sait que :

Les triangles 𝑭𝑯𝑬 et 𝑮𝑪𝑯 étant superposables, 𝐺𝐻𝐶̂ + 𝑭𝑯𝑬̂ = 𝐺𝐻𝐶̂ + 𝑮𝑪𝑯̂

Or :

Les angles à la base d’un triangle rectangle sont complémentaires.

Donc :

𝐺𝐻𝐶̂ + 𝑭𝑯𝑬̂ = 𝐺𝐻𝐶̂ + 𝑮𝑪𝑯̂ = 90°

Les points G, H et F étant alignés, on obtient : 𝐶𝐻𝐸̂ = 180° − ( 𝐺𝐶𝐻̂ + 𝐹𝐻𝐸̂ )

= 180° − 90°

= 90°

Montrons que 𝑯𝑬𝑩𝑪 est un carré :

De la même manière que précédemment, on prouve que s angles 𝐻𝐶𝐵̂ = 𝐶𝐵𝐸̂ = 𝐵𝐸𝐻̂ = 90°.

On en déduit que le quadrilatère 𝐻𝐸𝐵𝐶 est un carré.

(4 angles droits, 4 côtés de même longueur).

L’aire du carré 𝑯𝑬𝑩𝑪 peut être calculé de deux manières : Aire 𝐻𝐸𝐵𝐶 = côté × côté

= 𝑐 × 𝑐

= 𝑐²

Aire 𝐻𝐸𝐵𝐶 = Aire 𝐴𝐷𝐹𝐺 – 4 × Aire 𝐺𝐻𝐶

= 𝑐ô𝑡é × 𝑐ô𝑡é − 4 ×𝑏𝑎𝑠𝑒 × ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟 2

= (𝑎 + 𝑏) × (𝑎 + 𝑏) − 4 ×^𝑎×𝑏

2

= 𝑎²+ 2𝑎𝑏 + 𝑏²− 4 ×^𝑎𝑏

2

= 𝑎²+ 𝑏²

On en déduit que : 𝑎²+ 𝑏²= 𝑐²

𝑎

𝑏 𝑐

𝑎

𝑎 𝑎 𝑏

𝑏 𝑏

𝑏 𝑐

𝑐 𝑐

𝑐

𝑎 + 𝑏

(5)

IV) Réciproque du Théorème de Pythagore :

(Sert à démontrer qu’un triangle EST rectangle)

1) Théorème :

Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés

alors ce triangle est rectangle et l’angle droit est l’angle opposé au plus grand côté.

Mathématiquement :

Si dans un triangle ABC, BC² = AB² + AC² alors le triangle ABC est rectangle en A.

2) Exercice rédigé : Prouver qu’un triangle est rectangle :

Enoncé : ABC est un triangle tel que AC = 3 cm, AB = 4 cm et BC = 5 cm.

Prouver que le triangle ABC est rectangle en B.

Solution : Schéma :

Données : Conclusions :

Réciproque du Théorème de

Pythagore

Diagramme :

[BC] est le plus grand côté

Réciproque du Théorème de

Pythagore

ABC est un triangle rectangle en A BC² = AB² + AC²

Rédaction :

Dans le triangle ABC, [BC] est le plus grand côté.

𝐵𝐶² = 5² = 25

𝐴𝐵² + 𝐴𝐶² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

Comme BC² = AB² + AC², d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

BC² = AB² + AC²

(6)

http://mathsreibel.free.fr 6 3) Démonstration :

Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés,

alors ce triangle est rectangle.

Soit ABC un triangle tel que :

 𝐵𝐶 = 𝑎 ;

 𝐴𝐶 = 𝑏 ;

 𝐴𝐵 = 𝑐 ;

 𝑎²+ 𝑏²= 𝑐²

Soit D le point appartenant à la perpendiculaire à la droite (BC) passant par C tel que 𝐶𝐷 = 𝐶𝐴 = 𝑏.

(Les points A et D sont tels qu’ils ne sont pas du même côté de la droite (BC)).

On sait que le triangle BCD est rectangle en C, D’après le théorème de Pythagore, on a : 𝐵𝐷² = 𝑪𝐵² + 𝑪𝐷²

𝐵𝐷² = 𝑎²+ 𝑏² Comme : 𝑎²+ 𝑏²= 𝑐² 𝐵𝐷²= 𝑐²

Finalement : 𝐵𝐷 = c = AB

On sait que : AC = CD et BA = BD

Or : Si un point est équidistant des extrémités d’un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment.

Donc : C appartient à la médiatrice du segment [AD] et B appartient à la médiatrice de [AD].

Donc : (CB) est la médiatrice du segment [AD].

On sait que : (CB) est la médiatrice du segment [AD].

Or : La médiatrice d’un segment est perpendiculaire à ce segment.

Donc : (CB)⊥(AD) or on sait que (CB) ⊥ (CD) donc (CB) ⊥ (CA)

𝑏

𝑎 𝑐