D333. 2D dans 3D
Q1 - Six points A,B,C,D,E et F dans l’espace sont tels que les segments AB,BC et CD sont respectivement parallèles aux segments DE,EF et FA. Par ailleurs la distance AB est strictement supérieure à la distance DE. Démontrer que les six points sont dans un même plan.
Q2 - On considère quatre points A,B,C et D dans l’espace qui n’appartiennent pas à un même plan. Les segments AB, BC, CD et DA sont tangents à une même sphère aux points I,J,K et L.
Démontrer que les quatre points I, J, K et L sont dans un même plan.
Solution : Q1) Soient i,j,k des vecteurs directeurs de AB,BC,CD.
Posons Vecteurs AB=xi, BC=yj, CD=zk, DE=x'i, EF=y'j, FA=z'k.
On a (x+x')i + (y+y')j + (z+z')k = 0 avec x+x' > 0, donc i = -(y+y')/(x+x') j – (z+z')/(x+x') k.
Le vecteur i est combinaison linéaire des vecteurs j et k.
Les 6 points A, B, C, D, E, F sont donc dans un même plan.
Q2 ) Soient Δ1, Δ2, Δ3, Δ4, les droites AD, AB, CB, CD, orientées respectivement de A vers D, de A vers B, de C vers B, de C vers D La symétrie S1 par rapport au plan médiateur du segment LI transforme Δ1 en Δ2, La symétrie S2 par rapport au plan médiateur du segment IJ transforme Δ2 en Δ3, La symétrie S3 par rapport au plan médiateur du segment JK transforme Δ3 en Δ4, La symétrie S4 par rapport au plan médiateur du segment KL transforme Δ4 en Δ1 .
Soit R la composée S4 o S3 o S2 o S1 . R est la composée d'un nombre pair de symétries plan . Donc R est un déplacement. Il laisse invariant le centre de la sphère donc c'est une rotation autour d'un axe passant par ce centre. Il laisse invariante la droite orientée Δ1 , ainsi que le point L.
Finalement on a S4 o S3 o S2 o S1 = Id ou encore S4 o S3 = S1 o S2 .
L'axe de la rotation S4 o S3 est l'axe du cercle circonscrit au triangle JKL et l'axe de la rotation S1 o S2 est l'axe du cercle circonscrit au triangle LIJ.
Comme les axes sont confondus, les 4 points IJKL sont dans un même plan perpendiculaire à cet axe et aussi cocycliques.
A______________L_________________D
A______________I________________________B AL = AI C___________________J________________________B IB = JB C___________________K_________________D CJ = CK A______________L_________________D KD = LD
