A1707 – La tache d’encre [** à la main]
Diophante a reçu d’un lecteur fidèle un problème d’arithmétique destiné à être diffusé sur le site diophante.fr mais une tache d’encre a rendu illisible l’une des principales données de l’énoncé :
« Trouver six entiers positifs a,b,c,d,e,f tels que ppcm(a,b,c) = 60, ppcm(b,c,d) = 540, ppm(c,d,e) = 135,
ppcm(d,e,f) = 5454, ppcm(e,f,a) = 1212, ppcm(f,a,b) = avec ppcm(x,y,z) qui désigne le plus petit commun multiple des entiers x,y et z ».
Ce lecteur a précisé dans son courriel que les six entiers sont distincts et que le problème (avant la tache,donc) a une solution unique.
Démontrer que malgré la tache, on sait calculer le nombre caché et les six entiers (a,b,c,d,e,f).
Solution proposée par Daniel Collignon
Tout d'abord dans un tableau on spécifie les exposants des facteurs 2, 3, 5 et 101
2 3 5 101
60 2 1 1 0
540 2 3 1 0
135 0 3 1 0
5454 1 3 0 1
1212 2 1 0 1
a 0-2 0-1 0 0
b 0-2 0-1 0-1 0
c 0 0-1 0-1 0
d 0 0-3 0 0
e 0 0-1 0 0
f 0-1 0-1 0 0-1
Après une première itération, nous pouvons resserrer :
a 2 0-1 0 0
b 2 0-1 0-1 0
c 0 0-1 1 0
d 0 3 0 0
e 0 0-1 0 0
f 1 0-1 0 1
Reste à déterminer p=ppcm(f,a,b)
p 2 0-1 0-1 1
Parmi a, b ou c, au moins 1 possède exactement un facteur 3 Parmi e, f ou a, au moins 1 possède exactement un facteur 3 4 cas selon la décomposition de p:
2^2*101 => a=b=2^2 : impossible puisque non distincts
2^2*3*101 => parmi f, a, b, au moins 1 possède exactement un facteur 3 : impossible puisque plusieurs solutions 2^2*5*101 => une unique solution avec a=2^2, b=2^2*5, c=3*5, d=3^3, e=3, f=2*101
2^2*3*5*101 => parmi f, a, b, au moins 1 possède exactement un facteur 3 : impossible puisque plusieurs solutions
