A536. Les quatre derniers chiffres Trouver les entiers a et b (a > b >=1) de somme minimale tels que 2009

(1)

A536. Les quatre derniers chiffres

Trouver les entiers a et b (a > b >=1) de somme minimale tels que 2009^a et 2009^b ont les mêmes quatre derniers chiffres.

Source : d'après olympiades internationales de mathématiques.

Soit ߮ la fonction indicatrice d’Euler Le théorème d’Euler donne :

2009^ఝ൫ଵ଴^ర^൯ ≡ 1 ሺ10^ସሻ 2009 ≡ 2009 ሺ10^ସሻ En multipliant :

2009. 2009^ఝ൫ଵ଴^ర^൯ ≡ 2009 ሺ10^ସሻ Et comme ߮ሺ10^ସሻ = 4000

2009^ସ଴଴ଵ≡ 2009 ሺ10^ସሻ En prenant ܽ = 4001 et ܾ = 1, on répond à une partie de la question.

Dans ℕ

ൗ݊ℕ, où il n’existe que ݊ restes possibles à la division par ݊ ሺ0 à ݊ − 1ሻ, et comme l’exponentiation est définie par récurrence ൫ܽ^௞ାଵ = ܽ. ܽ^௞൯, les suites ݑ_௞ = ܽ^௞ sont périodiques.

De 2009^ସ଴଴ଵ≡ 2009 ሺ10^ସሻ, on déduit que 4000 est une période de la suite ݑ_௞ = 2009^௞, et on cherche une période plus courte en divisant 4000 par ses diviseurs : 2,4,5,8,10,16,20,25 …, et on trouve facilement la plus petite période pour 4000

ൗ16= 250. D’où :

2009^ଶହ଴≡ 1 ሺ10^ସሻ En reprenant les calculs du début, on trouve que 2009^ଶହଵ≡ 2009 ሺ10^ସሻ

ܽ = 251 et ܾ = 1 pour une somme minimale de 252, font plus sérieux.

Et la calculatrice confirme.