A536 : Les quatre derniers chiffres

A536 : Les quatre derniers chiffres

Trouver les entiers a et b (a > b >=1) de somme minimale tels que 2009^a et 2009^b  ont les mêmes quatre derniers chiffres. 

Les quatre derniers chiffres sont le reste de a division du nombre par 10000, et ,

puisque 2009 et 10000 sont premiers entre eux, 2009^a et 2009^b seront congrus modulo 10000 si et seulement si 2009^b-a≡1 (mod 10000).

Modulo 80, 2009≡9 et 2009²≡1: donc 2009^2k=1 et 2009^2k+1≡9; puisque 10000=125*80, 2009^a prend au plus 250 valeurs différentes modulo 10000, et il est simple de vérifier que 2009^a prend 4 valeurs modulo 160 et 10 valeurs modulo 400; 2009^a prend donc effectivement 250 valeurs distinctes, et les entiers cherchés sont donc a=1, b=251.