A536. Les quatre derniers chiffres
Trouver les entiers a et b (a > b >=1) de somme minimale tels que 2009a et 2009b ont les mêmes quatre derniers chiffres.
Solution proposée par Yannick Huet
Après lecture de cet énoncé, nous pouvons chercher les différents reste de la division euclidienne de 2009^a par 10. Ceci nous donnera les différentes possibilités des derniers chiffres que peut avoir un tel nombre.
9^1=9 mod 10 9^2 =1 mod 10 9^3= 9 mod 10 9^4 = 1 mod 10
De cela, nous pouvons dire que le dernier chiffre de 2009^a sera 1 si a est pair, 9 sinon.
Première condition : pour que 2009a et 2009b aient le même dernier chiffre, il suffit que a et b aient la même parité.
Détermination des conditions sur a et b pour que 2009a et 2009b aient le même avant dernier chiffre.
Dans le cas où a est pair :
X=(2009a -1)/10 mod 10 permet d’avoir l’avant dernier chiffre de 2009a
Si a se termine par un 0(zéro), X = 0 mod 10 Si a se termine par un 2, X =8 mod 10 Si a se termine par un 4, X=6 mod 10 Si a se termine par un 6, X=4 mod 10 Si a se termine par un 8, X=2 mod 10
Dans le cas où a est impair :
Y=(2009a -9)/10 mod 10 permet d’avoir l’avant dernier chiffre de 2009a
Si a se termine par un 1, Y = 0 mod 10 Si a se termine par un 3, Y =2 mod 10 Si a se termine par un 5, Y =4 mod 10 Si a se termine par un 7, Y =6 mod 10 Si a se termine par un 9, Y =8 mod 10
Deuxième condition : pour que 2009a et 2009b aient le même avant dernier chiffre, il suffit que a et b se termine par le même chiffre.
Voyons maintenant la condition sur l’antépénultième chiffre de a pour satisfaire le problème.
Dans le cas où a est pair :
X=(200902 -81)/100 mod 10 permet d’avoir l’avant avant dernier chiffre de 200902 , car celui- ci a un exposant pair se terminant par 2.
(200902 -81)/100 = 0 mod 10 (200912 -81)/100 = 4 mod 10 (200922 -81)/100 = 8 mod 10 (200932 -81)/100 = 2 mod 10 (200942 -81)/100 = 6 mod 10 (200952 -81)/100 = 0 mod 10 (200962 -81)/100 = 4 mod 10 (200972 -81)/100 = 8 mod 10 (200982 -81)/100 = 2 mod 10 (200992 -81)/100 = 6 mod 10 Dans le cas où a est impair :
Y=(200903 -29)/100 mod 10 permet d’avoir l’avant avant dernier chiffre de 200903 , d’après ci- dessus.
(200903 -29)/100 = 7 mod 10 (200913 -29)/100 = 3 mod 10 (200923 -29)/100 = 9 mod 10 (200933 -29)/100 = 5 mod 10 (200943 -29)/100 = 1 mod 10 (200953 -29)/100 = 7 mod 10 (200963 -29)/100 = 3 mod 10 (200973 -29)/100 = 9 mod 10 (200983 -29)/100 = 5 mod 10 (200993 -29)/100 = 1 mod 10
Troisième condition : pour que 2009a et 2009b aient le même avant avant dernier chiffre, il suffit que l’avant dernier chiffre de a et de b soient séparé de 0 ou de 5 unités.
Voyons maintenant la condition sur l’avant avant avant dernier chiffre de a pour satisfaire le problème.
Les deux derniers chiffres de a et b doivent être les mêmes ou l’avant dernier doivent être séparés de 5 unités.
Donc par exemple étudions pour le cas où a est pair et sans écart entre les avant derniers chiffres de a:
(2009012 -481)/1000 = 2 mod 10 (2009112 -481)/1000 = 6 mod 10 (2009212 -481)/1000 = 0 mod 10 (2009312 -481)/1000 = 4 mod 10 (2009412 -481)/1000 = 8 mod 10 (2009512 -481)/1000 = 2 mod 10 (2009612 -481)/1000 = 6 mod 10 (2009712 -481)/1000 = 0 mod 10 (2009812 -481)/1000 = 4 mod 10 (2009912 -481)/1000 = 8 mod 10
Etudions pour le cas où a est impair sans écart entre les avant derniers chiffres de a:
(2009013 -329)/1000 = 4 mod 10 (2009113 -329)/1000 = 0 mod 10 (2009213 -329)/1000 = 6 mod 10 (2009313 -329)/1000 = 2 mod 10 (2009413 -329)/1000 = 8 mod 10 (2009513 -329)/1000 = 4 mod 10 (2009613 -329)/1000 = 0 mod 10 (2009713 -329)/1000 = 6 mod 10 (2009813 -329)/1000 = 2 mod 10 (2009913 -329)/1000 = 8 mod 10
Etudions le cas où a est pair et avec écart de 5 unités entre les avant derniers chiffres de a:
(2009012 -481)/1000 = 2 mod 10 (2009062 -481)/1000 = 4 mod 10 (2009112 -481)/1000 = 6 mod 10 (2009162 -481)/1000 = 8 mod 10 (2009212 -481)/1000 = 0 mod 10 (2009262 -481)/1000 = 2 mod 10 (2009312 -481)/1000 = 4 mod 10 (2009362 -481)/1000 = 6 mod 10
(2009412 -481)/1000 = 8 mod 10 (2009462 -481)/1000 = 0 mod 10 (2009512 -481)/1000 = 2 mod 10 (2009562 -481)/1000 = 4 mod 10 (2009612 -481)/1000 = 6 mod 10 (2009662 -481)/1000 = 8 mod 10 (2009712 -481)/1000 = 0 mod 10 (2009762 -481)/1000 = 2 mod 10 (2009812 -481)/1000 = 4 mod 10 (2009862 -481)/1000 = 6 mod 10 (2009912 -481)/1000 = 8 mod 10 (2009962 -481)/1000 = 0 mod 10
Quatirème condition : pour que 2009a et 2009b aient le même avant avant avant dernier chiffre, il suffit que :
1) Soit la différence entre les deux chiffres, qui sont avant dernier dans a et b, est de zéro alors l’avant avant dernier chiffre de a est séparé de 5 unités avec l’avant avant dernier de b.
2) Soit la différence entre les deux chiffres, qui sont avant dernier dans a et b, est de 5, alors l’avant avant dernier chiffre de a est séparé de 2 unités avec l’avant avant dernier de b.
Cherchons donc a et b tel que leur somme soit minimale (a>b>=1) a = xyz b=x’y’z’
1) z=z’, y=5+y’, x=x’+ 2 2) z=z’, y=y’, x=x’+5
Dans le 1),
Comme b est >=1, mettons z’=1 donc z=1 La valeur de y’ minimale est 0 donc y=5 La valeur minimale de x’=0 donc x=2 Ce qui donne a=251, b=1 et a+b=252 Dans le 2),
Comme b>=1, mettons z’=1 donc z=1 La valeur minimale de y’=0 donc y =0 La valeur minimale de x’=0 donc x=5 Ce qui donne a=501 et b=1 et a+b=502
Pour avoir les entiers a et b (a > b >=1) de somme minimale tels que 2009a et 2009b ont les mêmes quatre derniers chiffres a=251 et b=1.
