2009 a ≡ 2009 b mod (10 000) ⇐⇒

(1)

Gilles Nithart

Trouverlesentiers

a

^et

b (a > b > 1)

^de^somme^minimale^tels^que

2009 ^a

^et

2009 ^b

^ont^les^mêmes^quatre^derniers

chires.

2009 ^a ≡ 2009 ^b mod (10 000) ⇐⇒

2009 ^a−b ≡ 1 mod (16) 2009 ^a−b ≡ 1 mod (625)

Désignonspar

φ ( n )

l'indicatriced'euleri.e. l'ordredugroupemultiplicatif modulo

n

^.

Puisque

φ(p ^k ) = p ^k−1 (p − 1)

^on^a

φ(16) = 2 ³ (2 − 1) = 8

^et

φ(625) = 5 ³ (5 − 1) = 500

^donc

a − b = ppcm(8, 500) = 1000

^convient.

Mais

Z

16Z

^×

' Z 2Z × Z

4Z

^montre^que ^le^groupemultiplicatif modulo

16

^est ^d'indice

4

^de ^sorte^que

a − b = ppcm(4, 500) = 500

^sut.^Le^groupemultiplicatifmodulo625luiest cycliqueet

φ(625)

^ne^peut^être^ané.

Ilresteàtesterlesdiviseursde

500 = 2 ² × 5 ³

^.

Modulo

16

^on^a

2009 ≡ 9

^et

2009 ² ≡ 81 ≡ 1

^.^Modulo

625

^on^a^:

2009 ≡ 134

^,

2009 ² ≡ 456

^,

2009 ⁴ ≡ 436

^,

2009 ⁸ ≡ 96

^,

2009 ¹⁶ ≡ 466

^,

2009 ³² ≡ 281

^,

2009 ⁶⁴ ≡ 211

^,

2009 ¹²⁸ ≡ 146

d'où

2009 ²⁵⁰ ≡ 2009 128+64+32+16+8+2 ≡ 146 × 211 × 281 × 466 × 96 × 456 ≡ 1

^.

Ontrouvedemême que

2009 ¹²⁵ ≡ 624

^et ^que

2009 ⁵⁰ = 126

^.

Ainsi

2009

^est^d'ordre

250

^modulo

10 000

^et

a − b = 250

^d'où

a = 251

^et

b = 1

^.

2009 a ≡ 2009 b mod (10 000) ⇐⇒

a

b (a > b > 1)

2009 a

2009 b

2009 a ≡ 2009 b mod (10 000) ⇐⇒

2009 a−b ≡ 1 mod (16) 2009 a−b ≡ 1 mod (625)

φ ( n )

n

φ(p k ) = p k−1 (p − 1)

φ(16) = 2 3 (2 − 1) = 8

φ(625) = 5 3 (5 − 1) = 500

a − b = ppcm(8, 500) = 1000

Z

16Z

×

' Z 2Z × Z

4Z

16

4

a − b = ppcm(4, 500) = 500

φ(625)

500 = 2 2 × 5 3

16

2009 ≡ 9

2009 2 ≡ 81 ≡ 1

625

2009 ≡ 134

2009 2 ≡ 456

2009 4 ≡ 436

2009 8 ≡ 96

2009 16 ≡ 466

2009 32 ≡ 281

2009 64 ≡ 211

2009 128 ≡ 146

2009 250 ≡ 2009 128+64+32+16+8+2 ≡ 146 × 211 × 281 × 466 × 96 × 456 ≡ 1

2009 125 ≡ 624

2009 50 = 126

2009

250

10 000

a − b = 250

a = 251

b = 1

2009 ^a

2009 ^b

2009 ^a ≡ 2009 ^b mod (10 000) ⇐⇒

2009 ^a−b ≡ 1 mod (16) 2009 ^a−b ≡ 1 mod (625)

φ(p ^k ) = p ^k−1 (p − 1)

φ(16) = 2 ³ (2 − 1) = 8

φ(625) = 5 ³ (5 − 1) = 500

^×

500 = 2 ² × 5 ³

2009 ² ≡ 81 ≡ 1

2009 ² ≡ 456

2009 ⁴ ≡ 436

2009 ⁸ ≡ 96

2009 ¹⁶ ≡ 466

2009 ³² ≡ 281

2009 ⁶⁴ ≡ 211

2009 ¹²⁸ ≡ 146

2009 ²⁵⁰ ≡ 2009 128+64+32+16+8+2 ≡ 146 × 211 × 281 × 466 × 96 × 456 ≡ 1

2009 ¹²⁵ ≡ 624

2009 ⁵⁰ = 126