A 469 L’armée de Napoléon [**** à la main]
Solution de Pierre Jullien
Il s’agit de trouver a, b, r, s entiers tels que 7a2 + b2 = r2 et 14a2 + b2 = s2 .
Pour résoudre 7a2 + b2 = r2 cherchons d’abord les points à coordonnées rationnelles tels que 7x2 + y2 = 1, en paramétrant l’ellipse correspondante.
Soit y = -mx + 1. Ainsi 7x2 + (-mx + 1)2 =1 ou encore (7 + m2)x2 – 2mx = 0 . Soit x = 2m / (7 + m2) et y = (7 - m2) / (7 + m2) . Lorsque m est rationnel, alors m est le quotient de deux entiers q et p et on a
x = 2pq / (7p2 + q2) et y = (7p2 - q2) / (7p2 + q2)
D’où des solutions a = 2pq , b = |7p2 - q2| et r = 7p2 + q2 pour p et q entiers arbitraires
Remarque : Les calculs faits avec 7 valent aussi pour 14 ou tout autre entier non nul. Par ailleurs, tout triplet (a,b,r) proportionnel à une solution est aussi une solution et on obtient ainsi toutes les solutions.
Dans un tableur, calculons la racine carrée de 14a2 + b2 , en attribuant à a et à b les valeurs ci-dessus, pour p et q en marge des lignes et des colonnes. Là où çà tombe juste, nous aurons une solution à notre problème.
Pour p et q inférieurs à 40, il apparaît les trois solutions : p = 4, q = 15, a = 120, b = 113, r = 337 et s = 463 ; p = 8, q = 30, quadruple de la précédente ;
p = 15, q = 28, a = 840, b = 791, r = 2 359 et s = 3 241.
Nous retiendrons, selon la première solution, qu’il y avait 214 369 hommes dans l’armée de Napoléon, composée de 14 régiments ordinaires de 14 400 soldats et d’un régiment d’élite de 12 769 soldats.
