A536. Les quatre derniers chiffres Trouver les entiers a et b (a > b ≥1) de somme minimale tels que 2009a et 2009

A536. Les quatre derniers chiffres

Trouver les entiers a et b (a > b ≥1) de somme minimale tels que 2009^a et 2009^b ont les mêmes quatre derniers chiffres.

solution proposée par Patrick Gordon On veut que 2009^a – 2009^b = 0 mod. 10.000.

Or (puisque a > b) :

2009^a – 2009^b = 2009^b (2009^a-b – 1) = 10.000 k.

Comme 10.000 ne saurait diviser 2009^b, c'est donc qu'il divise (2009^a-b – 1) et par conséquent que :

2009^a-b = 1 mod. 10.000.

On peut résoudre ce problème "à la main" (sans tableur). On travaille d'abord à 2 chiffres. Les puissances de 9 mod. 100 donnent 9¹⁰ = 1 mod. 100. C'est donc que l'exposant cherché est multiple de 10.

On passe à 3 chiffres et, pour cela, on prend le reste de 9¹⁰ à 3 chiffres, soit 401. Les puissances de 401 mod. 1000 donnent 401⁵ = 1 mod. 1000. L'exposant cherché est donc multiple de 50.

On passe à 4 chiffres et, pour cela, on prend le reste de 401⁵ à 4 chiffres, soit 2001. Les puissances de 2001 mod. 10000 donnent 2001⁵ = 1 mod. 10000. l'exposant cherché est donc 250.

Un tableur permet de vérifier ce résultat (on travaillera d’emblée sur les restes mod. 10.000), à savoir que le plus petit nombre n tel que :

2009ⁿ = 1 mod. 10.000 est n = 250.

D'où la solution : b = 1; a = 251.