A40207. L’armée de Napoléon
Les troupes ordinaires de Napoléon étaient constituées de 14 régiments, chaque régiment comportant le même nombre d’hommes et pouvant se for- mer en carré. Un quinzième régiment était la Garde, comportant un peu moins d’hommes que chacun des régiments ordinaires, mais pouvant aussi se former en carré.
Napoléon ordonna d’abord à la Garde de se joindre à 7 régiments ordinaires pour former un grand carré.
Puis, se ravisant, il ordonna aux 7 régiments restants de rejoindre le grand carré pour former un carré encore plus grand, comportant la totalité des troupes.
Et c’est dans cette formation qu’il se lança à la bataille.
Combien y avait-il d’hommes, au minimum, dans l’armée de Napoléon ? Solution
Soient g, r, m, n les côtés des carrés formés par la Garde, un régiment cou- rant, la première et la seconde formations en grand carré. Il faut trouver le plus petitn2 avec 7r2=m2−g2 =n2−m2, où je vais oublier provisoirement la conditiong < r.
Ecrits comme fractions irréductibles, les rapports
(m+g)/(n−m) = (n+m)/(m−g) et (m−g)/(n−m) = (n+m)/(m+g) sont l’un p/qavec p+q impair, l’autre (p+q)/(p−q).
Commer2 = (n2−m2)/7,pq(p+q)(p−q)/7 est le carré deqr(p−q)/(n−m).
Les facteurs du numérateur sont 2 à 2 premiers entre eux, et donc carrés sauf celui qui est multiple de 7.
Ce dernier n’est nipnip+q, car 7 ne peut diviser une somme de deux carrés premiers entre eux (l’un seraitq, l’autre p−q ou p).
Si 7 diviseq, le quadruplet (√
p−q,pq/7,√ p,√
p+q) peut jouer le rôle de (g, r, m, n) en donnant une solution plus petite.
Au contraire, si (g, r, m, n) est la plus petite solution, 7 divise p−q; alors
√q,√ p,√
p+qsont les côtés d’un triangle rectangle ; ce sont au moins 3,4,5 ce qui fournit (p−q)/7 carré (= 1) puisg= 113,r= 120,m= 337,n= 463.
La conditiong < rest satisfaite et l’armée de Napoléon peut avoir seulement 4632 = 214369 hommes.
