A469 L’armée de Napoléon
Si a est le coté du carré des troupes d’élite et b celui des régiments ordinaires, c et d les cotés des carrés obtenus après jonction avec 7 et 14 régiments, nous avons les
équations a2+7b2=c2 et c2+7b2=d2 . Si a, b, c, d sont solutions, il en est de même de ka, kb, kc, kd.
Par analogie avec l’équation pythagoricienne, la solution générale de cette équation est, à un facteur près (multiplicateur, ou diviseur si les nombres obtenus ne sont pas
premiers entre eux) a=p2-7q2 , b=2pq, c=p2+7q2 ; de même on peut essayer c=r2-7s2 , b=2rs, d=r2+7s2 (p, q, r, s entiers)
Donc pq=rs et p2-r2=7(q2+s2)
Supposons q et s premiers entre eux ; alors il existe un entier k tel que p=ks et r=kq.
Donc k2(s2-q2)=7(s2+q2) qui possède une solution « évidente », le premier triplet pythagoricien s=3, q=4, k=5 ,
donc p=15, q=4, r=20, s=3 et a=113, b=120, c=337, d=463 soit en tout 214369 hommes, ce qui est un peu faible pour l’effectif de la Grande Armée ; en multipliant chaque coté par 3, on obtient 1 929 321 hommes, ce qui est plus vraisemblable…
La justification des hypothèses simplificatrices utilisées (pas de coefficient multiplicateur, q et s premiers entre eux) est que cela marche. Mais on n’a pas démontré que la
solution obtenue est la plus petite (ce qui semble être le cas), a fortiori la seule à un facteur près.
