Enonc´e noA530 (Diophante) Affaires de grandes puissances
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1)
Trouver le plus petit entier positif dont le tiers est un cube parfait, le septi`eme est une puissance septi`eme parfaite et le huiti`eme est une puis- sance huiti`eme parfaite.
Soit n= 3a3= 7b7 = 8c8, avec a, b, c entiers.
Soit p un diviseur premier, autre que 2, 3 et 7, d’un nombre solution n; son exposant doit ˆetre multiple de 3, 7 et 8, donc de leur PPCM 168.
Alorsn/p168 est une autre solution plus petite. Pour obtenir la plus petite solution positive, il suffit de se limiter aux facteurs premiers 2, 3 et 7.
Posons donc n= 2x·3y·7z. Les conditions de l’´enonc´e donnent :
– pourx : il est multiple de 3 et de 7, avecx= 3 (mod 8) ; d’o`u x= 147 (mod 168).
– poury : il est multiple de 7 et de 8, avecy= 1 (mod 3) ; d’o`u y= 112 (mod 168).
– pour z: il est multiple de 3 et de 8, avec z= 1 (mod 7) ; d’o`u z= 120 (mod 168).
Finalement n = 2147·3112·7120 = 12611150046. . .8, un nombre de 200 chiffres.
Question 2)
D´emontrer qu’il existe 2009 nombres entiers distincts qui sont compris entre 20087et 20097 et dont le produit est une puissance septi`eme parfaite.
Pour une puissance 7`eme produit de 7 nombres de l’intervalle donn´e, on pourrait prendrea6, a5b, a4b2, a3b3, a2b4, ab5, b6 de produit (a3b3)7, avec 20087/6 < a < b <20097/6.
Ce dernier intervalle ne contient que les 4 entiers de 7133 `a 7136 ; on en tire au plus deux paires disjointes {a, b} fournissant 14 facteurs pour le produit puissance 7`eme.
Concid´erons donc l’intervalle (20087/3,20097/3) qui contient les 59100 en- tiers de 50868468 `a 50927567. Si a, b, c sont trois entiers distincts de cet intervalle, les 7 facteurs a3, b3, c3, a2b, a2c, b2c, c2b de produit (abc)7 sont compris entre 20087 et 20097.
Il suffit de prendre 287×3 = 861 entiers parmi les 59100 pour former 287×7 = 2009 facteurs dont le produit est une puissance septi`eme.
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