A1707 – La tache d’encre [** à la main]
Diophante a reçu d’un lecteur fidèle un problème d’arithmétique destiné à être diffusé sur le site diophante.fr mais une tache d’encre a rendu illisible l’une des principales données de l’énoncé :
« Trouver six entiers positifs a,b,c,d,e,f tels que ppcm(a,b,c) = 60, ppcm(b,c,d) = 540, ppm(c,d,e) = 135,
ppcm(d,e,f) = 5454, ppcm(e,f,a) = 1212, ppcm(f,a,b) = avec ppcm(x,y,z) qui désigne le plus petit commun multiple des entiers x,y et z ».
Ce lecteur a précisé dans son courriel que les six entiers sont distincts et que le problème (avant la tache,donc) a une solution unique.
Démontrer que malgré la tache, on sait calculer le nombre caché et les six entiers (a,b,c,d,e,f).
Solution proposée par Bernard Vignes
Les cinq ppcm connus se factorisent de la manière suivante : (1) ppcm(a,b,c) = 60 = 2².3.5
(2) ppcm(b,c,d) = 540 = 2².3³.5 (3) ppcm(c,d,e) = 135 = 3³.5 (4) ppcm(d,e,f,) = 5454 = 2.3³.101 (5) ppcm(e,f,a) = 1212 = 2².3.101
En rapprochant ces cinq relations deux par deux : (4) et (5) puis trois par trois : (3),(4) et (5) puis (2),(3) et (4) puis (1),(2) et (3) et enfin deux par deux : (1) et (5), on déduit les valeurs possibles de a,b,c,d,e et f.
Ainsi les entiers c,d et e étant tous trois impairs, on obtient f = 202 ou 606 puis d = 27 et e = 3.
L’entier c est un multiple de 5, à savoir 5 ou 15.L’entier b est un multiple de 4, à savoir 4,12 ou 20 et enfin l’entier a peut prendre les valeurs 4 ou 12.
D’où le tableau compatible avec les cinq relations supra :
Comme les valeurs de a et de b sont distinctes, les huit triplets possibles (f,a,b) sont alors (4,12,202), (4,20,202), (4,12,606), (4,20,606), (12,4,202), (12,4,606), (12,20,202), (12,20,606) auxquels correspondent les huit ppcm suivants : 1212, 2020, 1212, 6060, 1212, 1212, 6060, 6060.
Il apparaît que la solution unique annoncée par le lecteur est donnée par le triplet (4,20,202) avec un ppcm égal au millésime de l’année en cours : 2020
