A10307. Du PPCM au PGCD
Déterminer trois entiersa, b, cpositifs, tels qu’aucun ne divise les deux autres et que
P P CM(b, c)P P CM(c, a)P P CM(a, b) =abc·P GCD(a, b, c) avec a+b+c minimum.
Solution
Soientx, y, z les exposants du facteur premier pdans a, b, c. Si par exemple x≥y≥z, la condition de l’énoncé donnex= 2z. Prenanty=z= 1,x= 2, on minimise les nombres a, b, ctout en assurant queane divise ni b nic.
Avec deux autres nombres premiers q, r pour les autres impossibilités de division, on obtienta=p2qr,b=pq2r,c=pqr2 et on minimisea+b+c= pqr(p+q+r) en prenant (p, q, r) = (2,3,5), d’où (a, b, c) = (60,90,150).
