A 551 Antoine Verroken
A. 1. déterminer n tel que 2^n + n = 0 ( mod. 2013 )
- t est égal au plus petit exposant qui donne 2^t = 1 ( mod. m ) ; tout multiple de t , t*d donne aussi 2^(d*t) = 1 ( mod. m).
- l'ordre t de ( 2 mod. 2013 ) avec ( 2, 2013 ) = 1 est maximum égal au PPCM des facteurs de phi(m) - 2013 = 3 * 11 * 61 ; phi(3) = 2 phi(11) = 10 phi(61) = 60 ; PPCM (2,10,60) = 60 --> t = 60
- la séquence r dans 2^n = r ( mod. m ) avec t < n < 2*t est unique et se répète pour tout a*t < n < (a+1)*t
- si n varie de 1 --> infini on rencontrera certainement un n avec r = m - n , ce qui donnera 2^n + n = 0 ( mod. m ).
- 2^n + n = 0 ( mod. 2013 ) t = 60
sequence de r : -2012,-2011,-2009,...,-230,-460,...,-503,-1006 - pour 3*t = 180 < n < 4*t = 240 on trouve 2^230 + 230 = 0 ( mod. 2013 ) 2. somme des chiffres de 2^1438 = 2014
B. 1. 2^n + n = 0 ( mod. m ) a. ( 2,m) = 1 cfr. A.1.
b. m = 2^(c*q)
en divisant par 2^c on obtient 2^p + p = 0 ( mod. q ) (2,q) = 1 --> B.a --> n = 2^c * p 2. S(A) somme des chiffres du nombre A
- si k a f chiffres, k est maximum = 99...9 ( f fois 9 )
- si le pourcentage de zéros dans un nombre M , avec g chiffres , est a% et les autres chiffres sont tous égaux à 1, la somme des chiffres M est égale à : g * ( 1 - a/100 ) et S(M) est plus grand que k si g > 99...9 / ( 1 - a/100 ).
- N nombre de chiffres de 2^n
- N = | n*log10 2 | + 1 = | 0.30103*n | + 1
- % de zéros dans 2^n est probablement aux environs de 10% ; prenons a%
- S(2^n) = ( | 0.30103*n | + 1 ) * ( 1 - a/100)
- donc S(P) d'un nombre P avec | 0.30103*n | + 1 chiffres dont a% des chiffres sont des zéros et ( 100 - a% ) des chiffres sont egaux à 1 , est plus grand que 99...9 si
( | 0.30103*n | + 1 ) * ( 1 - a/100 ) > 99...9 et
S(2^n ) > 99...9 si n > | ( 99...9 / ( 1 - a/100) -1 ) / 0.30103 |
- exp. k = 9999 a = 10%
n = 36904
S(2^36904) = 50083
