G225
1. Le nombre maximum de r´egions form´ees par n droites est ´egal `a a(n) = 1 + 1 + 2 + 3 + ...+n = 1 + n(n+ 1)
2 car au maximum les k−1 premi`eres droites d´ecoupent la k-`eme en k morceaux, ce qui ajoute k r´egions. La suite des valeurs pour 36n615 est: (7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121).
2. Le nombre maximum de r´egions form´ees par n cercles est ´egal `ab(n) = 2 + 2(1 + 2 + 3 + ...+n−1) = 1 +n(n−1) car au maximum les k−1 premiers cercles d´ecoupent lek-`eme en 2(k−1) morceaux, ce qui ajoute 2(k−1) r´egions. La suite des valeurs pour 36n615 est: (8, 14, 22, 32, 44, 58, 74, 92, 112, 134, 158, 184, 212).
3. Le nombre maximum de r´egions form´ees par n ellipses est ´egal `a c(n) = 2 + 4(1 + 2 + 3 +...+n−1) = 1 + 2n(n−1) car au maximum les k−1 premi`eres ellipses d´ecoupent la k-`eme en 4(k−1) morceaux, ce qui ajoute 4(k−1) r´egions. La suite des valeurs pour 36n615 est: (14, 26, 42, 62, 86, 114, 146, 182, 222, 266, 314, 366, 422).
4. Le nombre maximum de r´egions form´ees par n triangles est ´egal `a d(n) = 2 + 6(1 + 2 + 3 +...+n−1) = 1 + 3n(n−1) car au maximum les k−1 premiers triangles d´ecoupent le k-`eme en 6(k−1) morceaux, ce qui ajoute 6(k−1) r´egions. La suite des valeurs pour 36n615 est: (20, 38, 62, 92, 128, 170, 218, 272, 332, 398, 470, 548, 632).
5. Le nombre maximum de r´egions form´ees parn carr´es est ´egal `a e(n) = 2 + 8(1 + 2 + 3 + ...+n−1) = 1 + 4n(n−1) car au maximum les k−1 premiers carr´es d´ecoupent lek-`eme en 8(k−1) morceaux, ce qui ajoute 8(k−1) r´egions. La suite des valeurs pour 36n615 est: (26, 50, 82, 122, 170, 226, 290, 362, 442, 530, 626, 730, 842).
Les valeurs communes sont: 14 = b(4) = c(3) , 22 = a(6) = b(5) , 26 = c(4) = e(3), 62 = c(6) = d(5) , 92 = a(13) = b(10) = d(6) , 170 = d(8) = e(7). On en d´eduit que A=a , B=b , C=c, D=eet E=d: B et C ont annonc´e 14, puis C et E ont annonc´e 62, puis A,B,E ont annonc´e 92 et enfin D et E ont annonc´e 170.
La seule possibilit´e donnant un total de 2007 r´egions est: A a trac´e 15 droites, B a trac´e 13 cercles, C a trac´e 14 ellipses , D a trac´e 14 carr´es et E a trac´e 15 triangles: on a bien 121 + 158 + 366 + 730 + 632 = 2007.
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