D354. Le cube
Un cube est posé sur un plan horizontal en contact avec un de ses sommets.
Les distances des 8 sommets au plan sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cm.
Quel est le côté du cube ?
Solution
Considérons le cube dans un repère orthonormé comme indiqué sur le schéma ci-dessous :
Pour positionner le cube en bonne position, nous faisons 2 rotations successives.
La première autour de l’axe Ox dans le sens anti-horaire d’un angle Teta (Teta positif).
La seconde autour de l’axe Oy’ issu de Oy dans le sens horaire d’un angle Phi (Phi négatif).
Utilisons la formulation matricielle de ces rotations qui permet de passer de tout point X,Y,Z à son image X1,Y1,Z1 dans la première rotation, puis à X2,Y2,Z2 dans la seconde :
Qui donne après multiplication matricielle :
Retenons uniquement la dernière ligne qui donne la distance du point par rapport au plan (Ox,Oy)
Z2 = -X sin(phi) + Y (cos(phi).sin(teta)) + Z (cos(phi).cos(teta)) [1]
La position du cube est parfaitement définie par la position de 3 points. Soit
a
son arête.Prenons B (0,a,0) qui devient B2 que nous mettons à l’altitude 1 Prenons D (a,0,0) qui devient D2 que nous mettons à l’altitude 2 Prenons E (0,0,a) qui devient E2 que nous mettons à l’altitude 4 En utilisant [1] :
Z2b = a.cos(phi).sin(teta) = 1 [2]
Z2d = -a.sin(phi) = 2 [3]
Z2e = a.cos(phi).cos(teta) = 4 [4]
Ce système se résout facilement pour donner comme solution (Notation rac pour racine carrée) :
