A10268. PPCM en palier
SoitM(n) le PPCM des entiers de 1 à n.
a) Caractériser les valeurs den pour lesquellesM(n) =M(n−1).
b) Pour quelles valeurs de m existe-t-ilm entiers consécutifs tels que M(n+ 1) =M(n+ 2) =M(n+ 3) =. . .=M(n+m) ?
Solution
a) Sina plusieurs diviseurs premiers, chacun de ses diviseurs puissances de nombres premiers est déjà présent entre 1 etn−1 ; ainsiM(n) =M(n−1).
Pour que M(n)> M(n−1), il faut et il suffit que nsoit une puissance de nombre premier. Pour tous les autres entiers, on aM(n) =M(n−1) comme demandé par l’énoncé.
b) Quel que soit m > 1, il suffit de prendre n = 1 + (2m+ 2)!. Pour 2≤c≤m+ 1, le nombre (2m+ 2)! a les facteurs cet 2c, (2m+ 2)! =Ac2, etn+c−1 =c(Ac+ 1) est le produit de deux facteurs>1 et premiers entre eux : ce ne peut être une puissance de nombre premier.
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