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(n+1)⁷ et PPCM(2..n) >= (n+1)⁷

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Academic year: 2022

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A554 – Tracé par sa racine septième [ *** à la main]

Déterminer le plus grand entier divisible par tous les entiers qui ne dépassent pas sa racine septième.

Solution proposée par Daniel Collignon

Nous ne pouvons avoir n⁷ =< N < (n+1)⁷ et PPCM(2..n) >= (n+1)⁷.

En effet, alors pour tout m =< n, m|N et donc N = k*PPCM(2...n) >=

PPCM(2...n) >= (n+1)⁷.

A l'aide d'un tableur on vérifie que PPCM(2...n) >= (n+1)⁷ pour 25 =< n

=< 36

Par une étude de fonction, nous vérifions que 2^n >= (n+1)⁷ pour n>=37.

Puis en utilisant le résultat PPCM(2...n) >= 2^n pour n>=7 (une démonstration "élégante" à l'aide d'intégrales est due à Mohan Nair) Nous en déduisons PPCM(2...n) >= (n+1)⁷ pour n>=25

D'où N<25⁷ = 6 103 515 625 est un multiple de PPCM(2...24) = 5 354 228 880.

Conclusion : N= 5 354 228 880

Voir http://oeis.org/A003418 et http://oeis.org/A003102

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