A554. Tracé par sa racine septième
Déterminez le plus grand entier divisible par tous les entiers qui ne dépassent pas sa racine septième.
Justifiez votre réponse.
Solution
Proposée par Fabien GIGANTE
Cherchons les entiers 𝑁 divisibles par tous les entiers qui ne dépassent pas leur racine septième.
On note :
𝑛la partie entière de la racine septième de 𝑁 telle que𝑛7≤ 𝑁 < (𝑛 + 1)7
𝑢𝑛 le plus petit commun multiple des entiers {1, 2, … , 𝑛}.
Il s’agit de résoudre :
∀𝑚 ∈ {1,2, … , 𝑛}, 𝑚|𝑁 ⇔ 𝑢𝑛 | 𝑁 Pour un 𝑛 donné,
si 𝑢𝑛≤ 𝑁, les solutions sont les multiples de 𝑢𝑛 dans l’intervalle [𝑛7, (𝑛 + 1)7[, soit 𝑁 ∈ {⌈𝑛7
𝑢𝑛⌉ 𝑢𝑛, … , ⌊(𝑛 + 1)7 𝑢𝑛 ⌋ 𝑢𝑛}
si 𝑢𝑛> 𝑁, il n’y a pas de solution.
Il reste à déterminer les 𝑛 pour lesquels 𝑢𝑛≤ 𝑁.
Minoration de 𝑢
𝑛(Reprenant l’idée de M. Nair, « On Chebyshev-type inequalities for primes ») Considérons un entier 𝑚 ≥ 1, et posons :
𝐼𝑚= ∫ 𝑥1 𝑚−1(1 − 𝑥)𝑚𝑑𝑥
0
En développant le binôme, il vient :
𝐼𝑚= ∫ 𝑥𝑚−1∑ 𝐶𝑚𝑖(−𝑥)𝑖
𝑚
𝑖=0
𝑑𝑥
1
0 = ∑(−1)𝑖𝐶𝑚𝑖 ∫ 𝑥𝑚+𝑖−1𝑑𝑥
1
0 =
𝑚
𝑖=0
∑(−1)𝑖𝐶𝑚𝑖 (𝑚 + 𝑖)
𝑚
𝑖=0
On remarque alors que : 𝑢2𝑚× 𝐼𝑚∈ ℤ
En intégrant 𝑚 fois par parties, il vient : 𝐼𝑚= ∫ 𝑥2𝑚−1
𝑚(𝑚 + 1) … (2𝑚 − 1)𝑚(𝑚 − 1) … (1)(1 − 𝑥)0𝑑𝑥
1 0
𝐼𝑚=𝑚! (𝑚 − 1)!
(2𝑚 − 1)! ∫ 𝑥2𝑚−1𝑑𝑥 =
1 0
𝑚! (𝑚 − 1)!
(2𝑚 − 1)! (2𝑚)= 1 𝑚𝐶2𝑚𝑚 Ce qui implique :
⇒𝑢2𝑚× 𝐼𝑚∈ ℤ
⇒ 𝑚𝐶2𝑚𝑚 | 𝑢2𝑚⇒ 𝑢2𝑚≥ 𝑚𝐶2𝑚𝑚
Remarquons que :
(1 + 1)2𝑚−1= ∑ 𝐶2𝑚−1𝑖
2𝑚−1
𝑖=0
= ∑ (𝐶2𝑚−12𝑖 + 𝐶2𝑚−12𝑖+1)
𝑚−1
𝑖=0
= ∑ 𝐶2𝑚2𝑖+1
𝑚−1
𝑖=0
≤ 𝑚𝐶2𝑚𝑚
De sorte que, pour tout 𝑚 ≥ 1 : 𝑢2𝑚≥ 𝑚𝐶2𝑚𝑚 ≥ 22𝑚−1 On a également, pour tout 𝑚 ≥ 1 :
𝑢2𝑚= {2 × 𝑢2𝑚−1 si 𝑚 puissance de 2 𝑢2𝑚−1 sinon
𝑢2𝑚−1≥1
2𝑢2𝑚≥ 22𝑚−2
Soit finalement, quelle que soit la parité de 𝑛 : 𝑢𝑛≥ 2𝑛−1
Applications numériques
Si 𝑛 ≥ 38
𝑢𝑛≥ 2𝑛−1≥ (𝑛 + 1)7> 𝑁 Il n’y a donc pas de solutions.
Si 𝑛 ≤ 37
On dresse un tableau de valeurs, et on énumère les 𝑛 tel que 𝑢𝑛< (𝑛 + 1)7.
𝑛 1 2 3 4 5 6 … 14
𝑢𝑛 1 2 6 12 60 ≤ 𝑢14= 360360 (𝑛 + 1)7 128 2187 16384 78125 279936 ≥ (6 + 1)7= 823543
𝑛 15 … 22 23 24 25 … 28 29 … 37
𝑢𝑛 ≤ 𝑢22= 232792560 5354228880 5354228880 ≥ 𝑢25= 26771144400 ≥ 𝑢29= 2329089562800 (𝑛 + 1)7≥ (15 + 1)7= 268435456 4586471424 6103515625 ≤ (28 + 1)7= 17249876309 ≤ (37 + 1)7= 114415582592 Il existe un 𝑁 tel que 𝑢𝑛≤ 𝑁 si et seulement si 𝑛 ∈ {1, … ,22, 24}.
L’ensemble des entiers 𝑁 divisibles par tous les entiers qui ne dépassent pas leur racine septième est :
⋃ {⌈𝑛7
𝑢𝑛⌉ 𝑢𝑛, … , ⌊(𝑛 + 1)7 𝑢𝑛 ⌋ 𝑢𝑛}
𝑛∈{1,…,22,24}
Conclusion
La plus grande solution est donc : 𝑁𝑚𝑎𝑥= ⌊(24 + 1)7
𝑢24 ⌋ 𝑢𝑛= ⌊(24 + 1)7
𝑢24 ⌋ 𝑢24= 𝑢24
𝑁𝑚𝑎𝑥= 5354228880
