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A554. Tracé par sa racine septième

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Academic year: 2022

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A554. Tracé par sa racine septième

Déterminez le plus grand entier divisible par tous les entiers qui ne dépassent pas sa racine septième. Justifiez votre réponse.

Solution proposée par Jean Nicot

Déterminons le plus petit nombre n22 divisible par tous les entiers jusqu’à 22 inclus.

C’est 2*3*2*5*7*2*3*11*13*2*17*19= 232792560 dont la racine septième est r22=15.67 De même n24 divisible par tous les entiers jusqu’à 24 inclus est n22*23=5354228880 et r24=24.53 De même n26 = n24 *5 = 26771144400 et r26= 30,87 mais 27 n’est pas un diviseur de n26.

n28 = n26*3=80313433200 et r28=36,12 mais 29 n’est pas un diviseur de n28.

n30= n28*29= 2329089562800 et r30= 58,44 mais 31, 37, 41, 43, 47,53, 57 ne divisent pas n30. Notons p# la primorielle de p (égale au produit de tous les facteurs premiers inférieurs ou égaux à p) Evidemment, nk > k# et √𝑘#7 > k dès que k > 30 √31#7 = 41,17 7√29# = 25,20

On ne peut donc trouver une valeur répondant au problème autre que n24= 53542288800 qui possède tous les diviseurs entiers jusqu’à 24.

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