A554 TRACE par sa RACINE SEPTIEME
Déterminez le plus grand entier divisible par tous les entiers qui ne dépassent pas sa racine septième.Justifiez votre réponse.
Soit a(n) le plus petit entier divisible par tous les entiers de 2 à n.
La suite commence comme indiqué ci dessous :
n 2 3 4 5 7 8 9 11 13 16
a(n) 2 6 12 60 420 840 2520 27720 360360 720720
C'est une suite croissante au sens large, par exemple on a : a(6) = a(5) , a(10) = a(9) . Tout nombre divisible par tous les entiers de 2 à n est multiple de a(n).
La suite des [a(n)](1/7) est aussi croissante au sens large :
n 9 11 13 16 17 19 23 25 27
[a(n)](1/7) 3,06 4,31 6,22 6,87 10,29 15,68 24,53 30,87 36,13 Jusqu'à n = 19, 20, 21, ou 22, [a(n)](1/7) < n donc a(n) est divisible par tous les entiers qui ne dépassent pas sa racine septième.
Pour n = 23, 24< a(23)(1/7) <25 , mais a(23) est divisible par 24, donc a(23) est divisible par tous les entiers qui ne dépassent pas sa racine septième.
Pour n = 25, 30 < a(25)(1/7) < 31, a(25) n'est pas divisible par 29 : 29 est un entier inférieur à a(25)(1/7) et qui n'est pas diviseur de a(25).
A partir de n=4 a(n) > primorielle(n), et pour les grandes valeurs de n, primorielle(n) ≈ exp(n), pour x > 22 exp(x/7) > x, et même pour x >29 exp(x/7) > 2x.
Pour n assez grand, l'écart entre n et a(n)1/7 ne cesse d'augmenter et il y a toujours des nombres inférieurs à a(n)1/7 qui ne divisent pas a(n).
n a(n) a(n)1/7 exp(n/7)
27 80313433200 36,13 47,33
29 2329089562800 58,44 62,98
31 72201776446800 95,45 83,81
32 144403552893600 105,38 96,68
Le plus grand entier divisible par tous les entiers qui ne dépassent pas sa racine septième est donc a(23) = 5354228880 = 24*primorielle(23)= 24.3².5.7.11.13.17.19.23
