A338. Les nombres qui se font hara-kiri
On choisit k nombres entiers naturels positifs distincts a,b,c,...e. Un entier naturel positif se fait hara-kiri jusqu’au niveau k s’il remplit les conditions suivantes :
- il a au moins k + 1 chiffres non nuls, - c’est un multiple des k nombres a,b,c,...e,
- on choisit un premier chiffre non nul que l’on supprime et le nombre résultant reste un multiple des k nombres, - on opère de la même manière en choisissant un 2ème chiffre non nul que l’on supprime...et enfin un kième chiffre non nul que l’on supprime de telle sorte qu’à chaque étape les nombres résultants restent des multiples des k nombres.
Par exemple, si l’on choisit les deux entiers 3 et 6, le nombre 396 peut se faire hara-kiri jusqu’au niveau 2 car c’est un nombre à 3 chiffres,c’est un multiple de 3 et de 6 et en supprimant repectivement 3 puis 9, on obtient 96 puis 6 qui sont toujours des multiples de 3 et de 6.On pourrait également supprimer 9 puis 3 qui donnent 36 et 6
également multiples de 3 et de 6.
Q₁ Trouver un nombre entier le plus petit si possible qui se fait hara-kiri jusqu’au niveau 3 avec les trois nombres premiers 5,7 et 11.
Q₂ Montrer que quels que soient les k entiers positifs distincts a,b,c..., on sait toujours fabriquer un entier qui se fait hara-kiri jusqu’au niveau k.
Q₁ Trouver un nombre entier le plus petit si possible qui se fait hara-kiri jusqu’au niveau 3 avec les trois nombres premiers 5,7 et 11.
3 422 265 342 265 34 265 3 465
/5 684 453 68 453 6 853 693
/7 488 895 48 895 4 895 495
/11 311 115 31 115 3 115 315
Remarque : 3422...2265
Q₂ Montrer que quels que soient les k entiers positifs distincts a,b,c..., on sait toujours fabriquer un entier qui se fait hara-kiri jusqu’au niveau k.
Les nombres, pour pouvoir s'harakiriser doivent être divisibles par chacun des entiers a,b,c..., donc par leur ppcm. Soit N = ppcm(a,b,c,...)
Alors, à partir d'un certain rang, tous les nombres
=
sont de la forme
…
…
…
où = 9 ≠ 0 9 9 = 0 et où ∃ !" =
…
…
#Remarque :
$
