TSTG Exercices sur le chapitre 12 : E4. page n ° 1 2007 2008
E4 Savoir déterminer une dépense minimale.
N ° 6
Tableau regroupant les données
Minimum 4 400 2600 Prix
Meubles de type A x 110 100 400 euros ≤ 9600
Meubles de types B y 220 100 600 euros ≤ 9600
Livres de Petit format Grand format
1. Le nombre de meubles de type A et le nombre de meubles de type B sont des entiers positifs.
Donc x ≥ 0 et y ≥ 0 et x ∈ et y ∈ .
Le responsable de la bibliothèque a pour consigne de ne passer aucune commande supérieure à 9600 euros chez un même fournisseur. Pour le premier fournisseur le prix d'un meuble étant de 400 euros, le coût de la commande de x meubles est 400x euros. D'où la contrainte 400x ≤ 9600.
Pour le deuxième fournisseur le prix d'un meuble étant de 600 euros, le coût de la commande de y meubles est 600y euros. D'où la contrainte 600y ≤ 9600.
Le mobilier doit au moins contenir 4 400 livres de petit format. Or, x meubles de type A contiennent 110 x livres de petit format et y meubles de type B contiennent 220y livres de petit format.
On en déduit : 110x + 220y ≥ 4400.
Le mobilier doit au moins contenir 2600 livres de grand format. Or, x meubles de type A contiennent 100 x livres de grand format et y meubles de type B contiennent 100y livres de grand format.
On en déduit : 100x + 100y ≥ 2600.
D'où le système
x ≥ 0 et y ≥ 0 et x ∈ et y ∈ . 400x ≤ 9600.
600y ≤ 9600.
110x + 220y ≥ 4400.
100x + 100y ≥ 2600.
2. a. Simplifions le système : 400x ≤ 9600 ⇔ x ≤ 24 600y ≤ 9600 ⇔ y ≤ 16
110x + 220y ≥ 4400 ⇔ x + 2y ≥ 40 100x + 100y ≥ 2600 ⇔ x + y ≥ 26 d'où 0 ≤ x ≤ 24
0 ≤ y ≤ 16 x + 2y ≥ 40 x + y ≥ 26 x ∈ et y ∈ .
2. b. La double inégalité 0 ≤ x ≤ 24 définit la portion de plan comprise entre l'axe des ordonnées d'équation x = 0 et la droite d1 d'équation x = 24.
La double inégalité 0 ≤ y ≤ 16 définit la portion de plan comprise entre l'axe des abscisses d'équation y = 0 et la droite d2 d'équation y = 16.
L'inégalité x + 2y ≥ 40 définit le demi plan ayant pour frontière la droite d3 d'équation x + 2y = 40 ⇔
y = 20 − 0,5x qui passe par les points de coordonnées ( 8 ; 16 ) et ( 24 ; 8 ) la droite d3 est comprise et la partie solution est au dessus de d3
L'inégalité x + y ≥ 26 définit le demi plan ayant pour frontière la droite d4 d'équation x + y = 26 ⇔
y = 26 − x qui passe par les points de coordonnées ( 10 ; 16 ) et ( 24 ; 2 ) la droite d4 est comprise et la partie solution est au dessus de d4.
La solution de ce système d'inéquations est la partie commune de ces quatre parties du plan en ne considérant que les points à coordonnées entières. C'est la partie non hachurée de la figure.
Les frontières de ce domaine sont toutes comprises. Voir feuille de papier millimétrée.
3.a. L'achat de x meubles de type A entraîne une dépense de 400x euros, et l'achat de y meubles de type B entraîne une dépense de 600y euros. La dépense totale d est donc égale à : d = 400x + 600y.
3.b. Pour d = 15 600 , on a 15600 = 400x + 600y ⇔ y = 26 − 2/3x.
Cette droite passe par les points de coordonnées ( 24 ; 10 ) et ( 15 ; 16 ) j'appelle cette droite d5.
3.c. A chaque valeur de d donnée, correspond une droite. Celle qui correspond à la dépense minimale est la droite parallèles à d5 qui a une ordonnée à l'origine minimale tout en ayant au moins un point dans l'ensemble des solutions. Je trace la parallèle à d5 qui a pour ordonnée à l'origine minimale. Je constate que la droite cherchée passe par le point d'intersection de d3 et d4. Je lis sur le graphique les coordonnées de ce point ( 12 ; 14 ).
On doit donc commander 12 meubles de type A et 14 meubles de type B.
3. d. d = 400 × 12 + 600 × 14 = 4800 + 8400 = 13200. La dépense minimale est égale à 13 200 euros.
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