Enoncé A338 (Diophante)
Les nombres qui se font hara-kiri
On choisit k nombres entiers naturels positifs distincts a, b, c, . . . , e. Un entier naturel positif se fait hara-kiri jusqu’au niveau k s’il remplit les conditions suivantes :
– il a au moins k+ 1 chiffres non nuls,
– c’est un multiple desk nombresa, b, c, . . . , e,
– on choisit un premier chiffre non nul que l’on supprime et le nombre résultant reste un multiple desk nombres,
– on opère de la même manière en choisissant un 2ème chiffre non nul que l’on supprime. . . et enfin un k-ième chiffre non nul que l’on supprime de telle sorte qu’à chaque étape les nombres résultants restent des multiples des knombres.
Par exemple, si l’on choisit les deux entiers 3 et 6, le nombre 396 peut se faire hara-kiri jusqu’au niveau 2 car c’est un nombre à 3 chiffres,c’est un multiple de 3 et de 6 et en supprimant respectivement 3 puis 9, on obtient 96 puis 6 qui sont toujours des multiples de 3 et de 6. On pourrait également supprimer 9 puis 3 qui donnent 36 et 6 également multiples de 3 et de 6.
Q1 Trouver un nombre entier le plus petit si possible qui se fait hara-kiri jusqu’au niveau 3 avec les trois nombres premiers 5, 7 et 11.
Q2 Montrer que quels que soient les k entiers positifs distincts a, b, c . . ., on sait toujours fabriquer un entier qui se fait hara-kiri jusqu’au niveauk.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Q1
Le nombre de 10 chiffres 17(1)02(5)(5)085 se fait hara-kiri jusqu’au niveau 3, en restant multiple de 5, 7 et 11. Les 3 chiffres à supprimer sont ceux entre parenthèses, dans un ordre arbitraire.
Il est construit avec les nombres 8(5)085 et 17(1)017.
Q2
Les nombres donnés n’interviennent que par leur nombreket leur PPCM M.
Considérons le nombre écrit AsB qui devient AB par suppression du chiffre s, A et B étant des nombres d’un ou plusieurs chiffres. La diffé- rence produite par la suppression est, à un facteur puissance de 10 près, 9·A+set doit être multiple deM. On peut choisirsparmi les multiples de PGCD(9, M) pour déterminerA, puis on détermineB par la condition queAB soit multiple de M.
Il suffit, pour atteindre le niveau k de hara-kiri, de répéter k fois à la suite le nombreA(s)B. Un recouvrement partiel, respectant les chiffres à supprimer, permet de réduire la taille du nombre obtenu.
Exemple : avec PPCM(5,7,11) = 385 =M, on trouve A= 17 pours= 1, etA= 85 pours= 5, d’où les nombres 17(1)017 et 85(5)085. Il se trouve que 8085 est multiple deM comme 85085.
