A338. Les nombres qui se font hara-kiri
On choisit k nombres entiers naturels positifs distincts a,b,c,...e. Un entier naturel positif se fait hara-kiri jusqu’au niveau k s’il remplit les conditions suivantes :
- il a au moins k + 1 chiffres non nuls, - c’est un multiple des k nombres a,b,c,...e,
- on choisit un premier chiffre non nul que l’on supprime et le nombre résultant reste un multiple des k nombres,
- on opère de la même manière en choisissant un 2ème chiffre non nul que l’on supprime...et enfin un kième chiffre non nul que l’on supprime de telle sorte qu’à chaque étape les nombres résultants restent des multiples des k nombres.
Par exemple, si l’on choisit les deux entiers 3 et 6, le nombre 396 peut se faire hara-kiri jusqu’au niveau 2 car c’est un nombre à 3 chiffres, c’est un multiple de 3 et de 6 et en supprimant
respectivement 3 puis 9, on obtient 96 puis 6 qui sont toujours des multiples de 3 et de 6.On pourrait également supprimer 9 puis 3 qui donnent 36 et 6 également multiples de 3 et de 6.
Q₁ Trouver un nombre entier le plus petit si possible qui se fait hara- kiri jusqu’au niveau 3 avec les trois nombres premiers 5,7 et 11.
Réponse : 3 422 265 est le plus petit.
En cherchant parmi les multiples de 385(PPCM de 5, 7 et 11), aucun nombre de trois chiffres et seul cinq de quatre chiffres (3 465, 4 235, 8 085, 8 470 et 8 555) donnent un nombre de cinq chiffres lui aussi multiple de 385(34 265, 42 735, 85 085, 85 470 et 85 855), on peut donc penser qu’au mieux c’est un nombre de sept chiffres qui fera l’affaire.
Parmi les multiples de 385 de six chiffres, dix sont des ascendants (342 265, 342 650, 427 350, 427 735, 850 850, 854 700, 855 085,
855 470, 855 855 et 858 550) et parmi ceux de sept chiffres, 3 422 265 est le plus petit. Remarquons qu’il s’agit du début (exception faite du premier terme) de la suite ( ) {
. Q₂ Montrer que quels que soient les k entiers positifs distincts a,b,c..., on sait toujours fabriquer un entier qui se fait hara-kiri jusqu’au niveau k.
Réponse : la suite ( ) { ( )
donne une infinité de nombres qui conviennent (pour n assez grand).
Regardons de plus près les premiers termes de cette suite : ( ) ( )
Une petite récurrence prouve que ( ∑ ) et donc, si possède N chiffres, et en ont au plus N+1 donc, lorsqu’on pose la multiplication de par ∑ , entre le N+1ème (ou N+2ème )
chiffre et le nème( possédant plus de n+N chiffres) à partir des unités, le chiffre se calcule toujours de la même manière (somme des chiffres de ∑ ) avec complément variable (retenues) mais qui forme le début d’une suite croissante, à valeurs entières et majorées donc constantes à partir d’un certain rang (disons ). Il suffit de prendre , au moins k chiffres identiques apparaissent dans
, chiffres qui peuvent être supprimés pour obtenir , tous multiples de !
