A1707. La tache d’encre**
Diophante a reçu d’un lecteur fidèle un problème d’arithmétique destiné à être diffusé sur le site diophante.fr mais une tache d’encre a rendu illisible l’une des principales données de l’énoncé :
« Trouver six entiers positifs a,b,c,d,e,f tels que ppcm(a,b,c) = 60, ppcm(b,c,d) = 540, ppm(c,d,e) = 135, ppcm(d,e,f) = 5454, ppcm(e, f,a) = 1212, ppcm(f,a,b) = avec ppcm(x,y,z) qui désigne le plus petit commun multiple des entiers x,y et z ».
Ce lecteur a précisé dans son courriel que les six entiers sont distincts et que le problème (avant la tache, donc) a une solution unique.
Démontrer que malgré la tache, on sait calculer le nombre caché et les six entiers (a,b,c,d,e,f) PROPOSITION Th Eveilleau
Les diviseurs possibles de 60 sont :
Tabc=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60]
Les diviseurs possibles de 540 sont :
Tbcd=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 27, 30, 36, 45, 54, 60, 90, 108, 135, 180, 270, 540]
Les diviseurs possibles de 135 sont : Tcde=[1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135]
Les diviseurs possibles de 5454 sont :
Tdef=[1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, 101, 202, 303, 606, 909, 1818, 2727, 5454]
Les diviseurs possibles de 1212 sont :
Tefa= [1, 2, 3, 4, 6, 12, 101, 202, 303, 404, 606, 1212]
Nous obtenons les ensembles de valeurs possibles pour f, e, a, , b, d et c : Tf=[1,2,3,6,101,202,303,606] ;
Te=[1,2,3] ; Ta=[1,2,3,4,6,12] ;
Tb=[1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60] ; Td=[1,3,9,27] ;
Tc=[1,3,5,15] ;
Ces cas nous mènent avec ppcm(e,f,a) = 1212 et ppcm(d,e,f) = 5454 aux seuls (a, e, f, d) possibles : (12, 1, 202, 27)
(12, 1, 606, 27)
(12, 2, 101, 27) (12, 2, 202, 27) (12, 2, 303, 27) (12, 2, 606, 27)
(12, 3, 202, 27) (12, 3, 606, 27)
(4, 1, 606, 27) (4, 2, 303, 27) (4, 2, 606, 27) (4, 3, 202, 27) (4, 3, 606, 27) D’où les seules valeurs possibles :
Ta=[4,12] ; Te=[1, 2, 3] ;
Tf =[ 101, 202, 303, 606] ; d = 27
ET avec Tc=[1, 3, 5,15] ces cas nous mènent avec ppcm(c, d, e) = 135 aux seuls triplets (c,d,e) : (5, 27, 1)
(5,27, 3)
15, 27, 1) (15, 27, 3) Seules valeurs possibles : c=5 ou c=15 puis
e=1 ou e=3
ET les conditions ppcm(b,c,d) = 540 et ppcm(a, b,c) = 60 nous mènent à b=4 ou b =12 ou b= 20 ou b = 60
ET c=5 ou c=15
Ta=[4,12] ; Tb=[4,12,20,60] ; Tc=[5,15] ; d =27 ; Te=[1,3] ;
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Les valeurs possibles de la tache ppcm(f, a, b) sont les suivantes : 1212 donnant 14 solutions ;
6060 donnant 24 solutions et enfin
2020=ppcm (202,4,20) donnant une unique solution.
(a, b, c, d ,e, f) = (4, 20,15, 27, 3, 202) Tache : 2020