D1845 − Six points remarquables [***** à la main]
Démontrer qu'on sait trouver six points du plan X₁,Y₁,Z₁,X₂,Y₂,Z₂ tels que les huit triangles XiYjZk sont tous semblables avec 1 ≤ i, j, k ≤ 2.
Application numérique:on choisit les coordonnées de X₁ (0,0) et de Y₁(10⁹,0). Le sommet Z₁ est situé dans le quadrant des coordonnées strictement positives avec Z₁X₁ ≤ Z₁Y₁. Déterminer les longueurs des côtés Z₁X₁ et Z₁Y₁ à l'entier le plus proche.
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Je considère le triangle obtusangle X1Y1Z1 de côtés X1Y1 = 1,Y1Z1 = b, Z1X1 = a.
Je recherche d'abord l'existence de 4 triangles semblables avec similitude directe à l'intérieur d'un quadrilatère convexe X1 Y1 X2 Y2 .
Puis je tourne autour du point Z1 en appliquant la formule des sinus.
Avec cette configuration A + A + A + B autour de Z1 : b/a x a.b / b x b² / a.b x a/ b² = 1 Alors on regarde les angles : A + B + C = 180° ; B = 360° - 3A ; C = 2A - 180°
sin B / sin C x sin C / sin A x sin B / sin C x sin B / sin C = sin³ B / (sin A . sin² C) = 1 Alors : sin³ B = sin A . sin² C .
Je reformule avec uniquement l'angle A : sin² C = sin² ( 2A - pi ) = sin² 2A
sin B = sin (2pi - 3A) = sin (-3A) = -sin 3A => (-sin 3A)³ = sin A . sin² 2A .
sin 3A = sin (2A + A) = sin 2A .cos A + sin A . cos 2A = 2sin A . cos² A + cos² A . sin A - sin³ A . -sin 3A = sin³ A - 3sin A . cos² A = sin A . [ 4sin² A - 3 ] .
-sin 3A = sin A . [ 4sin² A - 3 ] .
Alors : (-sin 3A)³ = sin³ A . [ 4sin² A - 3 ]³ (1)
sin A . sin² C = sin A . sin² (2A - pi) = sin A . sin² 2A = 4 sin³ A .[ 1 - sin² A ]
Donc : sin A . sin² C = (-sin 3A)³ = 4 sin³ A .[ 1 - sin² A ] = sin³ A .[ 4 - 4sin² A ] (2) L' égalité (1) = (2) donne l'équation finale :
64 sin6 A - 144 sin4 A + 112 sin² A - 31 = 0 => sin A = 0.95946961961.. (racine positive réelle) A = arc sin 0.95946961961 = 106°.368385183.. (puisque A est un angle obtus ).
B = 360° - 3A = 40°.8948444505..
C = 32°.7367703665 .
Recherche du point Z2 .
Si je prolonge les 2 segments X1Y2 et Y1X2 à leur point de rencontre O , on a ainsi redessiné un cinquième triangle dont les angles sont : A , B et C ainsi qu'un parallélogramme .
Mais la similitude du nouveau triangle est indirecte .
On en conclut que 3C + 2B = 180° rt A = 2C + B ( angles correspondants ).
Le parallélogramme X1Z2X2Y2 donne avec sa grande diagonale 2 triangles supplémentaires X1Z2Y2 et X2Z2Y2 . Les 2 derniers triangles X1Z2Y1 et X2Y1Z2 sont semblables aux six autres. (On retrouve leurs angles A, B & C ).
Application numérique : Dans le triangle de côté l'unité , les 2 autres côtés se calculent avec la loi des sinus .
a = sin C / sin A = 0.56362416217 b = sin B / sin A = 0.68232780382
ce qui donne sauf erreur , à l'échelle 109 : X1 Z1 = 563 624 162 & Y1 Z1 = 682 327 804 .
