D260 – Partie commune
Un cercle de diamètre 10 est inscrit dans un triangle et un carré. Démontrer que la surface de la partie commune à ces deux dernières figures est au moins égale à 87.
Solution proposée par Patrick Gordon
Le triangle ne peut pas couper plus de 3 "coins" du carré (exceptionnellement 2 si un de ses côtés est colinéaire avec un côté du carré). L'aire maximale d'un "coin" coupé (tel que PQR) est obtenue, par raison de symétrie, quand le côté concerné du triangle est à 45° par rapport au carré.
Le maximum de l'aire coupée est le maximum de la somme de trois aires dont le maximum local de chacune est obtenu quand le côté concerné du triangle est à 45° par rapport au carré.
Certes, le maximum d'une somme n'est pas, en toute rigueur, la somme des maximums, mais ici les trois termes de la somme sont positifs.
Or on peut avoir ces trois aires égales chacune au maximum dans un triangle dégénéré, à 45°
par rapport au carré, comme dans la figure ci-dessous,
Prenons le rayon du cercle pour unité. La partie du carré non intérieure au triangle est formée de trois triangles rectangles isocèles égaux tels que PQR, de côté de l'angle droit égal à 2 – √2.
La surface correspondante est donc :
3/2 (2 – √2)² = 9 – 6 √2 = 0,514718626.
Rapporté à la surface du carré, soit 4, cela donne un ratio de : 0,128679656. L'aire de la partie commune au triangle et au carré est donc, avec un carré d'aire 100 :
100 × (1 – 0,128679656) = 87,13203436 C'est le minimum cherché.
