Enonc´e noD1901 (Diophante) Un angle et son multiple
Soit un triangle scal`eneABC dont l’angle enAest inf´erieur `a 45◦. On trace les points P et Q respectivement sym´etriques de B et de C par rapport aux cˆot´es AC et AB. La perpendiculaire issue de A `a P Q rencontre la m´ediatrice de BC en un point D. D´emontrer que l’angle BDC est un multiple entier de l’angle en A.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je prends pour unit´e de longueur le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC. On a CP = CB, (CP, CB) = 2(CA, CB) = 2C; BQ = BC, (BC, BQ) = 2(BC, BA) = 2B.
Il existe une similitude d’angleπ/2 transformantA en QetD en P. D´etant sur la m´ediatriceM de BC, la projection deAD surBC (orient´e deB vers C) a pour valeur alg´ebrique
(1/2)(ACcosC+ABcos(π−B)) = sinBcosC−sinCcosB = sin(B−C).
La projection deQP surM (orient´ee du cˆot´e deA) a pour valeur BC(sin(2C)−sin(2B)) = (2 sinA)2 sin(C−B) cos(B+C) =
= 4 sinAcosAsin(B−C) = 2 sin(2A) sin(B−C).
Le rapport de similitude est donc 2 sin(2A).
La projection deQP surBC a pour valeur alg´ebrique
BC(1 + cos(π−2C)−cos(2B)) = (2 sinA)(1−2 cos(B−C) cos(B+C)) =
= (2 sinA)(1 + 2 cos(B−C) cosA).
Compte tenu du rapport de similitude 2 sin(2A), la projection de AD sur M vaut
−1/(2 cosA)−cos(B−C).
La projection deBAsurM a pour valeur alg´ebrique BAsinB = 2 sinCsinB = cos(B−C)−cos(B+C) =
= cos(B−C) + cosA.
En ajoutant, la projection du vecteurBD=BA+ADsurM a pour valeur
−1/(2 cosA) + cosA= cos(2A)/(2 cosA) = sinAcot(2A).
Comme sinAest la distance de B etC `aM, il en r´esulte que (DB, M) = (M, DC) = 2A,
et donc que l’angleBDC vaut 4 fois l’angle A, CQFD.
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