Il existe donc un entierktel que 4n+ 2 = (2n−1)k

TS9 DS 1 3 octobre 2018 Dur´ee 55 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.

Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.

Exercice 1 : Cours : (5 minutes) (2 points)

1. Soientaetb deux entiers,b6= 0.

Que signifieaest divisible par b.

2. Quelle est la condition surrpour quea=bq+r soit l’´ecriture de la division euclidienne de de l’entier apar l’entierb(non nul) ?

Solution: Voir le cours

Exercice 2 : Pour s’´echauffer : (15 minutes) (5 points)

1. (a) Quels sont les entiers relatifsntels que 2n−1 divise 4n+ 2 ? (b) Que peut-on dire de ces entiers ?

Solution: Soitntel que 2n−1 divise 4n+ 2. Il existe donc un entierktel que 4n+ 2 = (2n−1)k.

On a :

4n−2 + 4 = (2n−1)k⇔4 = (2n−1)k−2×(2n−1)⇔4 = (2n−1)(k−2).

Donc 2n−1 est un diviseur de 4. Les diviseurs relatifs de 4 sont : D₄ ={−4;−2;−1; 1; 2; 4}.

Les valeurs possibles densont donc 0 et 1.

On a bien−1 divise 4n+ 2 et 1 divise 4n+ 2.

On en conclut que ces entiers sont premiers entre eux.

2. Un nombre entier a pour reste 35 dans la division euclidienne par 69. Dans la division par 75, il a mˆeme quotient et pour reste 17.

Quel est ce nombre ?

Solution: Soit nce nombre entier, Il existe un entier q tel quen= 69q+ 35. etn= 75q+ 17.

(n= 69q+ 35 n= 75q+ 17 ⇔

(n= 69q+ 35

69q+ 35 = 75q+ 17 ⇔

(n= 69q+ 35

6q= 18 ⇔

(n= 69q+ 35

q= 3 ⇔

(n= 242 q= 3

Exercice 3 : Divisibilit´e par 7 des puissances de 2 (25 minutes) (10 points) 1. (a) D´emontrer par r´ecurrence que 2³ⁿ−1 est un multiple de 7.

(b) En d´eduire que 2³ⁿ⁺¹−2 est un multiple de 7 et que 2³ⁿ⁺²−4 est un multiple de 7.

2. D´eterminer les restes dans la division euclidienne par 7 des puissances de 2. (On pourra faire une distinction de cas.)

3. Le nombrep ´etant un entier naturel, on consid`ere le nombre entierAp= 2^p+ 2^2p+ 2^3p. (a) Sip= 3n, quel est le reste de la division de Ap par 7 ?

(b) D´emontrer que sip= 3n+ 1, alors A_p est divisible par 7.

(c) ´Etudier le cas o`u p= 3n+ 2.

Solution:

1. (a) Pour tout entiern, on d´efinit P(n) : 2³ⁿ−1 est un multiple de 7. Initialisation : Pour n= 0, 2⁰−1 = 0 donc 2ⁿ−1 est un multiple de 7.

H´er´edit´e : Soitn un entier tel queP(n) est vraie.

Il existe donc un entier k k tel que 2³ⁿ−1 = 7k.

Donc 2³⁽ⁿ⁺¹⁾−8 = 2×7k.

Donc 2³ⁿ⁺¹−1 = 2×7k+ 7.

TS9 DS 1 Page 2 sur 2 Donc P(n+ 1) est vraie.

Conclusion : Pour tout entier n,P(n) est vraie.

(b) Soitnun entier, il existe doncktel que 2³ⁿ−1 = 7kdonc 2³ⁿ⁺¹−2 = 2×7ket 2³ⁿ⁺²−4 = 4×7k.

Donc 2³ⁿ⁺¹−2 est un multiple de 7 et 2³ⁿ⁺²−4 est un multiple de 7.

2. Tout entier naturel non nul N peut s’´ecrire sous une de ses trois formes : N = 3n,N = 3n+ 1 et N = 3n+ 2 ;

On d´eduit de la question pr´ec´edent :

SiN = 3n, Le reste de la division euclidienne de 2^N par 7 est 1 SiN = 3n+ 1, Le reste de la division euclidienne de 2^N par 7 est 2 SiN = 3n+ 2, Le reste de la division euclidienne de 2^N par 7 est 4 3. (a) On aAp = 2³ⁿ+ 2⁶ⁿ+ 2⁹ⁿ. Il existe donck,k⁰ etk⁰⁰, tel que

A_p = 7k+ 1 + 7k⁰+ 1 + 7k⁰⁰+ 1 = 7(k+k⁰+k⁰⁰) + 3. Le reste est donc 3 (b) On a A_p = 2³ⁿ⁺¹+ 2⁶ⁿ⁺²+ 2⁹ⁿ⁺³. Il existe donck,k⁰ etk⁰⁰, tel que

Ap = 7k+ 2 + 7k⁰+ 4 + 7k⁰⁰+ 1 = 7(k+k⁰+k⁰⁰+ 1). Le reste est donc 0 (c) On aA_p = 2³ⁿ⁺²+ 2⁶ⁿ⁺⁴+ 2⁹ⁿ⁺⁶. Il existe donck,k⁰ etk⁰⁰, tel que

Ap = 7k+ 4 + 7k⁰+ 2 + 7k⁰⁰+ 1 = 7(k+k⁰+k⁰⁰+ 1). Le reste est donc 0.

Exercice 4 : Prendre des initiatives (10 minutes) (3 points)

Un supermarch´e re¸coit une livraison de bouteilles. Si l’on compte les bouteilles par 3, 5 ou 7, il en reste toujours 2.

Sachant que le nombre de bouteilles est compris entre 1500 et 1600, combien de bouteilles a-t-il re¸cues ? Solution: Soitnle nombre de bouteilles moins 2.

nest `a la fois un multiple de 3, de 5 et de 7.

On peut d´ej`a chercher les multiples de 3×5×7 = 105 entre 1500 et 1600.

Il en existe un, il s’agit de 1575.

Le nombre de bouteilles cherch´e est donc 1577.