TS9 DS 1 3 octobre 2018 Dur´ee 55 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Exercice 1 : Cours : (5 minutes) (2 points)
1. Soientaetb deux entiers,b6= 0.
Que signifieaest divisible par b.
2. Quelle est la condition surrpour quea=bq+r soit l’´ecriture de la division euclidienne de de l’entier apar l’entierb(non nul) ?
Solution: Voir le cours
Exercice 2 : Pour s’´echauffer : (15 minutes) (5 points)
1. (a) Quels sont les entiers relatifsntels que 2n−1 divise 4n+ 2 ? (b) Que peut-on dire de ces entiers ?
Solution: Soitntel que 2n−1 divise 4n+ 2. Il existe donc un entierktel que 4n+ 2 = (2n−1)k.
On a :
4n−2 + 4 = (2n−1)k⇔4 = (2n−1)k−2×(2n−1)⇔4 = (2n−1)(k−2).
Donc 2n−1 est un diviseur de 4. Les diviseurs relatifs de 4 sont : D4 ={−4;−2;−1; 1; 2; 4}.
Les valeurs possibles densont donc 0 et 1.
On a bien−1 divise 4n+ 2 et 1 divise 4n+ 2.
On en conclut que ces entiers sont premiers entre eux.
2. Un nombre entier a pour reste 35 dans la division euclidienne par 69. Dans la division par 75, il a mˆeme quotient et pour reste 17.
Quel est ce nombre ?
Solution: Soit nce nombre entier, Il existe un entier q tel quen= 69q+ 35. etn= 75q+ 17.
(n= 69q+ 35 n= 75q+ 17 ⇔
(n= 69q+ 35
69q+ 35 = 75q+ 17 ⇔
(n= 69q+ 35
6q= 18 ⇔
(n= 69q+ 35
q= 3 ⇔
(n= 242 q= 3
Exercice 3 : Divisibilit´e par 7 des puissances de 2 (25 minutes) (10 points) 1. (a) D´emontrer par r´ecurrence que 23n−1 est un multiple de 7.
(b) En d´eduire que 23n+1−2 est un multiple de 7 et que 23n+2−4 est un multiple de 7.
2. D´eterminer les restes dans la division euclidienne par 7 des puissances de 2. (On pourra faire une distinction de cas.)
3. Le nombrep ´etant un entier naturel, on consid`ere le nombre entierAp= 2p+ 22p+ 23p. (a) Sip= 3n, quel est le reste de la division de Ap par 7 ?
(b) D´emontrer que sip= 3n+ 1, alors Ap est divisible par 7.
(c) ´Etudier le cas o`u p= 3n+ 2.
Solution:
1. (a) Pour tout entiern, on d´efinit P(n) : 23n−1 est un multiple de 7. Initialisation : Pour n= 0, 20−1 = 0 donc 2n−1 est un multiple de 7.
H´er´edit´e : Soitn un entier tel queP(n) est vraie.
Il existe donc un entier k k tel que 23n−1 = 7k.
Donc 23(n+1)−8 = 2×7k.
Donc 23n+1−1 = 2×7k+ 7.
TS9 DS 1 Page 2 sur 2 Donc P(n+ 1) est vraie.
Conclusion : Pour tout entier n,P(n) est vraie.
(b) Soitnun entier, il existe doncktel que 23n−1 = 7kdonc 23n+1−2 = 2×7ket 23n+2−4 = 4×7k.
Donc 23n+1−2 est un multiple de 7 et 23n+2−4 est un multiple de 7.
2. Tout entier naturel non nul N peut s’´ecrire sous une de ses trois formes : N = 3n,N = 3n+ 1 et N = 3n+ 2 ;
On d´eduit de la question pr´ec´edent :
SiN = 3n, Le reste de la division euclidienne de 2N par 7 est 1 SiN = 3n+ 1, Le reste de la division euclidienne de 2N par 7 est 2 SiN = 3n+ 2, Le reste de la division euclidienne de 2N par 7 est 4 3. (a) On aAp = 23n+ 26n+ 29n. Il existe donck,k0 etk00, tel que
Ap = 7k+ 1 + 7k0+ 1 + 7k00+ 1 = 7(k+k0+k00) + 3. Le reste est donc 3 (b) On a Ap = 23n+1+ 26n+2+ 29n+3. Il existe donck,k0 etk00, tel que
Ap = 7k+ 2 + 7k0+ 4 + 7k00+ 1 = 7(k+k0+k00+ 1). Le reste est donc 0 (c) On aAp = 23n+2+ 26n+4+ 29n+6. Il existe donck,k0 etk00, tel que
Ap = 7k+ 4 + 7k0+ 2 + 7k00+ 1 = 7(k+k0+k00+ 1). Le reste est donc 0.
Exercice 4 : Prendre des initiatives (10 minutes) (3 points)
Un supermarch´e re¸coit une livraison de bouteilles. Si l’on compte les bouteilles par 3, 5 ou 7, il en reste toujours 2.
Sachant que le nombre de bouteilles est compris entre 1500 et 1600, combien de bouteilles a-t-il re¸cues ? Solution: Soitnle nombre de bouteilles moins 2.
nest `a la fois un multiple de 3, de 5 et de 7.
On peut d´ej`a chercher les multiples de 3×5×7 = 105 entre 1500 et 1600.
Il en existe un, il s’agit de 1575.
Le nombre de bouteilles cherch´e est donc 1577.
