D1964 – Un parallélogramme qui tombe... à pic
Le cercle inscrit d’un triangle ABC a pour centre I et touche les côtés BC, CA et AB aux points D, E et F. M étant le milieu de BC, la droite MI coupe la hauteur AH au point P. La droite DE coupe au point Q la parallèle issue de A au côté BC. La droite FQ coupe le cercle inscrit au point K. Démontrer que APIK est un parallélogramme.
Solution par Patrick Gordon
Pour que APIK soit un parallélogramme, il faut et il suffit que IK soit parallèle et égal à AP.
DIK doit donc être un diamètre du cercle inscrit et par conséquent on doit avoir AP = r.
C'est là une première exigence, qui ne fait pas intervenir les points Q et K. Ce doit donc être une propriété valable dans tout triangle.
Tentons de l'établir.
On trace le cercle exinscrit (Ce) dans l'angle BAC, associé au cercle inscrit (Ci). Dans l’homothétie de centre A qui transforme (Ci) en (Ce), le point K', extrémité du diamètre DK' de (Ci), devient le point de contact G du cercle exinscrit (Ce) avec BC.
Un résultat classique sur les cercles inscrits et exinscrits nous enseigne que CD = BG = p – c
= (a + b – c)/2, ou encore que BD = CG = p – b = (a – b + c)/2
M est donc le milieu de DG. Or, dans le triangle DGK', I est le milieu de DK'. Donc MIP, droite des milieux, est parallèle à GK'A. Comme, par construction, IK' est parallèle à AP, APIK' est un parallélogramme.
D’où la "propriété valable dans tout triangle" : AP = K'I = r
Mais nous sommes allés plus loin en montrant que APIK' est un parallélogramme car, pour achever la résolution du problème, il suffit de montrer que K' est confondu avec le point K de l’énoncé.
Les triangles AQE et CDE sont semblables, donc AQ est égal à AE comme CD l'est à CE.
Mais AF aussi est égal à AE. Donc AF = AQ et le triangle FAQ est isocèle.
Dès lors, Q est parfaitement déterminé et la droite DE n'intervient plus.
Appelons F' le point de contact du cercle (Ce) avec AB. On a : BF' = BG = p – c.
F'BG est donc isocèle. Il a les mêmes angles que FAQ et donc F'G est parallèle à FQ.
Prolongeons F'G jusqu'à R sur AQ. La droite F'GR est homothétique de FQ dans l’homothétie de centre A qui transforme (Ci) en (Ce).
Or, par construction, F'R coupe (Ce) au point G. FQ coupe donc (Ci) en un point K homothétique de G dans cette même homothétie. Le point K est donc "le point le plus haut" du cercle (Ci), comme G est "le point le plus haut" du cercle (Ce).
En d'autres termes, K est l'autre extrémité du diamètre DI. Il est bien confondu avec le point K' de la première partie.
Comme on a montré que APIK' est un parallélogramme et que K n'est autre que K', APIK est un parallélogramme.
