Deux spots S₁ et S₂ assimilés à deux points sont installés au sol et au plafond d’une salle de musée dans le plan médiateur d’un tableau afin de l’éclairer au mieux. Pour ce faire, chaque spot éclaire le haut et le bas du tableau sous le plus grand angle possible. Leurs positions sont alors déterminées par deux triangles rectangles S₁H₁T₁ et S₂H₂T₂ (voir figure ci-dessus) dont les dimensions des côtés toutes distinctes entre elles s’expriment en nombres entiers de centimètres. La hauteur T₁T₂ du tableau inférieure à 150 cm s’exprime également en nombre entier de centimètres .Sachant que le spot le plus éloigné du tableau est au sol, déterminer la hauteur H₁H₂ de la salle et la position du tableau sur le mur.
Soit t la hauteur du tableau, HT=y l’ordonnée du bord du tableau, SH=x l’abscisse du spot, a l’angle sous lequel est vu le tableau, b l’angle HST.
tanb=y/x, tan(a+b)=(y+t)/x, tana=(tan(a+b)-tanb)/(1+tanb*tan(a+b)
tana=xt/(x2+y(y+t)) dont la dérivée s’annule pour x2+y(y+t))-2x2=0, x2=y(y+t), donc t=(x2-y2)/y.
x et y sont les deux premiers éléments d’un triplet pythagoricien m(p2-q2), 2mpq, m(p2+q2) : (x2-y2)/y= m(p4-6p2q2+q4)/(2pq) ou -m(p4-6p2q2+q4)/(p2-q2); le dénominateur divise m, car premier avec l’autre facteur.
Pour p=2, q=1, p4-6p2q2+q4 =-7, p2-q2=3, 2pq=4
Pour p=3, q=2, p4-6p2q2+q4 =-119=-17*7, p2-q2= 5, 2pq=12 Donc t=119 pour x=60, y=25, et pour x=204, y=153.
Le bas du tableau est à 153 cm du sol, et la salle a 153+119+25=297 cm de hauteur.
