Enoncé D2905 (Diophante) Deux lieux communs
On considère un point courant P sur un cercle (Γ) dans lequel est inscrit un quadrilatère ABCD.
Les droites [P B] et [P C] rencontrent la droite [AD] respectivement aux points K etL.
Déterminer les lieux des centres des cercles circonscrits aux trianglesP BL et P CK quand le pointP décrit (Γ).
Ces lieux peuvent-ils être tracés à la règle et au compas ? Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je noteE etF les centres des cercles (BP L) et (CP K). La fonction Trace de GeoGebra montre obligeamment que les lieux sont des éléments de droite, suggérant que ces cercles passent par deux points fixes autres que B etC.
De fait, le cercle (BP L) recoupeADenM; par la cocyclicité deP, B, L, M et deP, A, B, C, on a les égalités angulaires1 (M B, M A) = (M B, M L) = (P B, P L) = (P B, P C) = (AB, AC) montrant queM est fixe. Le lieu de M est la médiatrice du segmentBM.
Pour construire le pointM, on a (BA, BM) = (AB, AD)−(M B, M D) = (AB, AD)−(AB, AC) = (AC, AD). La construction : report de l’angle (AC, AD) à partir de BA, puis médiatrice de BM, se fait vec règle et compas.
De même, le cercle (CP K) recoupe AD en N; par la cocyclicité de P, C, , N et de P, A, B, C, on a (N D, N C) = (N K, N C) = (P K, P C) = (P B, P C) = (AB, AC) montrant que N est fixe. Le lieu de F est la mé- diatrice du segmentCN;
(CD, CN) = (DC, DA) − (N C, N D) = (BC, BA) + (AB, AC) = (CB, CA). On construitN en reportant l’angle (CB, CA) à partir deCD.
1. angles orientés de droites non orientées, définis àπprès.