Enoncé D1967 (Diophante) La saga des quatre centres
On donne deux points A et B et un cercle (C) de centre C. Une droite variable passant par B coupe le cercle en deux pointsP etQ.
1er épisode : on suppose que A est le centre du cercle. Quelles sont les courbes décrites par les 4 centres des cercles inscrit et exinscrits à AP Q? Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soit P0 etQ0 les points du cercle diamétralement opposés à P etQ,K le milieu de l’arc QP0 etLle milieu de l’arc P Q0.P QP0Q0 est un rectangle ; KLest le diamètre parallèle àP Q.K appartient à la bissectrice de l’angle AP Qet à la bissectrice de l’angleQAP0 : c’est le centre du cercle exinscrit dans l’angle P. De même L est le centre du cercle exinscrit dans l’angle Q.
Les lieux de ces centres sont contenus dans le cercle (C) ; ils en couvrent la totalité si B est intérieur au cercle ou sur le cercle, la sécante BP Q pouvant prendre toutes les orientations ; ils forment deux arcs disjoints si B est extérieur au cercle, l’orientation de la sécante étant limitée par les tangentes menées de B au cercle.
Le triangle AP Qétant isocèle, les deux autres centresI (cercle inscrit) et J (cercle exinscrit dans l’angleA) sont sur la perpendiculaire menée deA à la sécante BP Q.
Je prends C comme origine des coordonnées, l’axeCxselonCB,B ayant les coordonnées (z,0) ; je prends le rayon du cercle (C) comme unité de longueur.
Je note les angles (P Q, P C) =a, (P Q, BC) =b. La diistance deC à P Q est sina=zsinb. La droite AIJ a pour équation x=ytanb. La relation des sinus dans les triangles CP I etCJ P d’anglesπ/2−a, a/2, π/2 +a/2 fournit AI = tan(a/2), AJ = cot(a/2).
Ainsi AI·AJ = 1, et siI a pour coordonnées (x, y) AI + 1
AI = 2
sina = 2
zsinb = 2px2+y2
zx =
q
x2+y2+ 1 px2+y2
d’où l’équation (x2+y2)(zx−2) +zx= 0.
Cette équation est aussi celle du lieu de J. C’est une cubique circulaire, ayantCB pour axe de symétrie, dont la branche infinie a pour asymptote la droite zx = 2, homothétique de la polaire de B par l’homothétie de centreC et de rapport 2.
Si z > 1, la cubique comporte une branche unique, passant par C et coupant le cercle aux points de contact des tangentes menées deB; le lieu deI est la portion intérieure au cercle, le lieu deJest la portion extérieure.
Si z < 1, la courbe comporte une branche fermée intérieure au cercle, passant par C, et qui est le lieu deI; et une branche infinie extérieure au cercle, qui est le lieu de J.
Siz= 1 (B sur le cercle, confondu avecQ), les lieux forment la strophoïde droite de point double B et de sommet C, le lieu de I étant la partie intérieure au cercle et le lieu deJ la partie extérieure au cercle.
