Enoncé D651 (Diophante) Vite fait,bien fait
Etant donné deux points A et B et une droite (∆) qui coupe la droite AB en un point C, discuter, selon la position de C sur la droite AB, l’existence et le nombre de cercles passant par A et B et tangents à (∆). En donner une construction à la règle et au compas.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Selon le signe du produit des valeurs algébriques CA ·CB (un sens positif ayant été défini sur AB), qui est la puissance de C par rapport à tous les cercles passant parA etB, trois cas sont à distinguer.
1/ C extérieur au segment AB : le produit est positif et est le carré de la longueur des tangentes menées deC à ces cercles. Les deux cercles tangents à (∆) touchent cette droite enT1 etT2 tels que|CT1|=|CT2|=√
CA·CB.
2/ C en A ou en B : le produit est nul ; un seul cercle, touchant (∆) enC.
3/C intérieur au segmentAB : le produit est négatif. On ne peut mener parC de tangente réelle à aucun cercle passant parAetB.
Construction Cas 1/
Construire la médiatrice (D) du segment AB (deux cercles, une droite) ; y prendre un pointE; construire le milieuF deCE(deux cercles, deux droites) ; tracer les cercles (E, EA) et (F, F C) qui se coupent en G; le cercle (C, CG) coupe (∆) en T1 et T2; les perpendiculaires à (∆) élevées en T1 et T2 (trois cercles et une droite pour chacun) coupent D en O1 et O2, centres des cercles cherchés. Total 5 droites et 15 cercles.
Cas 2/
Construire la médiatrice (D) du segment AB (deux cercles, une droite) ; élever la perpendiculaire à (∆) en C (trois cercles et une droite) ; elle coupe D en O, centre du cercle cherché. Total deux droites et 6 cercles.
