D1898. Les huit cercles et les huit droites MB Problème proposé par Pierre Jullien
Ci-contre quatre cercles B, N, R, V, de même rayon, passent par un même point O.
On trace les quatre cercles:
b passant par les points d'intersection (autres que O) des cercles N, R, V ; n passant par les points d'intersection (autres que O) des cercles R, V, B ; r passant par les points d'intersection (autres que O) des cercles V, B, N ; v passant par les points d'intersection (autres que O) des cercles B, N, R . Q1 Que peut-on dire de la figure obtenue ?
Q2 Démontrer que les quatre droites joignant respectivement les centres des cercles: (B,b), (N,n), (R,r) (V,v) et les quatre axes radicaux de ces mêmes cercles pris deux à deux sont concourants en un même point .
Q1) On suppose que les cercles B, N, R, V ont pour rayon 1 et on veut prouver que les cercles b, n, r, v ont tous le même rayon égal à 1.
Raisonnons avec une figure restreinte : b, c, d sont les affixes (de module 1), de 3 points B, C, D centres de cercles de rayon 1 qui se coupent en O d’affixe 0 et en trois autres points E, F, G. Ces derniers points ont pour affixes E : e = (b+ c), F : f = (c+ d), G : g = (b+ d).
Si on pose z = b +c +d on observe que z – e = d, z – f = b, z – g = c donc │z – e│= │z – f│ = │z – g│ = 1 z = b +c +d est l’affixe du centre du cercle EFG (rouge) et le rayon de ce cercle est 1.
Revenons à la figure de l’énoncé, des démonstrations analogues prouvent que les cercles b, n, r, v ont tous le même rayon.
Q2) Je donne des noms aux affixes des centres de ces huit cercles : b1, n1, r1, v1 pour les centres de B, N, R, V, puis b2, n2, r2, v2 pour les centres de b, n, r, v. On sait que b2 = n1+v1+r1
Le milieu du segment joignant les points d’affixes b1 et b2 a pour affixe (b1+b2)/2=(b1+n1+v1+r1)/2.
C’est le même milieu M pour les segments joignant respectivement les centres des cercles (B,b), (N,n), (R,r), (V,v) : les 4 droites sont concourantes.
Comme les cercles B et b ont le même rayon, leur axe radical est la médiatrice du segment qui joint leurs centres. Cet axe radical passe aussi par le point M d’affixe (b1+n1+v1+ r1) /2. Les 4 axes radicaux sont les perpendiculaires en M aux 4 droites précédentes.
En tout 8 droites sont concourantes en M.
Les images des cercles B, N, R, V dans la symétrie de centre M sont les cercles b, n, r, v.
