D10150. Les quatre cercles
Etant donn´es trois cercles de mˆeme rayon, non tangents entre eux et ayant un point de concours commun, que peut-on dire du rayon du cercle cir- conscrit au triangle form´e par les trois autres points d’intersection deux `a deux de ces cercles ?
La figure obtenue comporte 4 centres de cercle et 4 points d’intersection de ces cercles deux `a deux. Que peut-on dire des 4 segments qui joignent chacun un centre de cercle au point d’intersection n’appartenant pas `a ce cercle ?
Solution
Je note O le point commun aux 3 cercles donn´es, A, B, C leurs autres points de concours 2 `a 2,A0 le centre du cercle passant par O, B, C mais non par A, de mˆeme pourB0 etC0.
Les 3 cercles ´etant de mˆeme rayon, les quadrilat`eres OB0AC0, OC0BA0, OA0CB0 sont des losanges.
Je vais exploiter la propri´et´e : si M N P Q et P QRS sont des parall´elo- grammes, alorsM N SRest un parall´elogramme. Cela d´ecoule par exemple de l’´egalit´e vectorielle −−→
M N = −−→
QP = −→
RS. J’´ecrirai en abr´eg´e M N P Q⊕ QP SR=M N SR.
SoitI le milieu deAA0, etO0 le sym´etrique deO par rapport `aI.OAO0A0 est un parall´elogramme.OBO0B0aussi, carC0BA0O⊕OA0O0A=C0BO0A, B0OC0A⊕AC0BO0=B0OBO0. Les diagonalesOO0 etBB0 se coupent en leur milieu, ce qui montre queI est aussi milieu deBB0.I est aussi milieu deCC0, par un mˆeme argument.
A0, B0, C0´etant sym´etriques deA, B, Cpar rapport `aI, le cercle circonscrit
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aABC est le sym´etrique du cercle passant par A0, B0, C0, qui est ´evidem- ment le cercle de centreO ayant pour rayon le rayon des cercles donn´es.
Le cercle demand´e est donc le cercle de centre O0 de mˆeme rayon.
Les 4 segmentsAA0, BB0, CC0, OO0 ont en commun leur milieuI. Chacun des pointsO, A, B, C est commun `a 3 des 4 cercles.
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