Enoncé G1917 (Diophante)
Des urnes et des boules (1er épisode)
Puce dispose de trois lots de boules rouges, bleues et vertes.
Il met dans une même urne les boules rouges et bleues (à l’exclusion des boules vertes) et constate qu’avec un tirage (sans remise) de deux boules il a exactement une chance sur deux de tirer deux boules de même couleur.
Il met ensuite dans l’urne les boules bleues et vertes (à l’exclusion des boules rouges) et constate qu’avec un tirage (sans remise) de deux boules il a à nouveau exactement une chance sur deux de tirer deux boules de même couleur.
Il met enfin toutes les boules dans l’urne et constate qu’avec un tirage (sans remise) de deux boules il a une probabilité de tirer deux boules de même couleur égale à 11/32.
Q1 Déterminer le nombre de boules bleues.
Q2 Calculer la probabilité d’obtenir deux boules de même couleur quand Puce met dans l’urne les boules rouges et vertes (à l’exclusion des boules bleues)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Question 1
Soitr, b, v le nombre de boules rouges, bleues, vertes.
Tirant deux boules parmi r +b, la probabilité de deux boules de même couleur est (C(r,2)+C(b,2))/C(r+b,2) = (r2+b2−r−b)/((r+b)(r+b−1)).
Elle vaut 1/2 quand (r−b)2 =r+b. Posantr=b+d(dpeut être négatif), r+b=d2,r=d(d+ 1)/2,b=d(d−1)/2.
De même, tirant deux boules parmib+v, la probabilité de deux boules de même couleur est 1/2 quandv=e(e+ 1)/2,b=e(e−1)/2.
Ces deux valeurs deb s’égalent sie=dou e= 1−d.
Tirant deux boules parmir+b+v, la probabilité qu’elles soient de même couleur est (C(r,2) +C(b,2) +C(v,2))/C(r+b+v,2).
Sie=d,v=r et la probabilité est, après simplifications,
(3d2−d−2)/(9d2−3d−2). Son inverse s’écrit 3+4/(3d2−d−2)>3>32/11, ce qui ne peut satisfaire l’énoncé.
Donc e = 1−d, v = (d2 −3d+ 2)/2, r+b+v = (3d2−3d+ 2)/2. La probabilité est alors (d2 −d+ 2)/(3d2 −3d+ 2). L’égalant à 11/32, on obtient d2−d−42 = 0. Les solutions sont d= 7, r = 28, b= 21, v= 15, oud=−6, r= 15, b= 21, v= 28.
Les boules bleues sont 21, les nombres de boules rouges et de boules vertes sont l’un 15 et l’autre 28.
Question 2
Cette probabilité est (C(15,2) +C(28,2))/C(43,2) = 23/43.
