Problème proposé par Louis Rogliano
Dans une urne il y a N boules noires (N > 0) et B boules blanches (B > 0).
On utilise l'algorithme suivant jusqu'à ce que l'urne soit vide:
1) S'il reste des boules dans l'urne, on en prend une au hasard, on la jette et on continue en 2) 2) S'il reste des boules dans l'urne, on en prend une au hasard et on note sa couleur :
a) Si cette couleur est la même que celle de la dernière boule prise dans l'urne, on la jette et on continue en 2)
b) Sinon, on remet la boule dans l'urne et on continue en 1)
Question : Quelle est la probabilité pour que la dernière boule tirée soit blanche ?
Soit P(N,B) la probabilité que le processus conduise à une dernière boule blanche en partant de N boules noires et B boules blanches. Nous avons P(0,B)=1 et P(N,0)=0 pour B>0 et N>0, et bien sûr, P(1,1)=1/2 par symétrie.
Partant de N boules noires et B boules blanches, la probabilité de tirer les N boules noires à la suite (de la première à la N-ième) est égale à la probabilité de tirer les B boules
blanches à la suite (de la première à la B-ième), par symétrie des dispositions (si les blanches sont les B premières, les noires sont les N dernières, et réciproquement. Sinon, on se retrouve après avoir tiré un certain nombre de boules identiques, puis une différente que l’on remet, avec un nombre non nul de boules de chaque type, d’un total inférieur.
Si l’on suppose que P(N,B)=1/2 pour tout N et B tels N>0, B>0 et N+B≤n, et que l’on part de N’>0, B’>0, tels que N’+B’=n+1, le processus, jusqu’à l’étape 2b, conduit soit à n’avoir plus que des boules blanches, ou que des boules noires, avec une égale probabilité, soit à un état de N boules noires et B boules blanches, où N=N’ et B<B’, ou N<N’ et B=B’, donc N+B≤n. Comme P(1,1)=1/2, cela établit par récurrence que P(N,B)=1/2 si N>0 et B>0.