Problème E539 – Solution de Jean Drabbe
Nous noterons
nn --> j le remplacement de deux boules noires par une boule jaune
jj --> nr le remplacement de deux boules jaunes par une boule noire et une boule rouge
et
rr --> j
les autres remplacements nj --> r
décrits dans rj --> n
l'énoncé nr --> nr
On remarque immédiatement que
les remplacements jj --> nr et nr --> nr ne changent dans l'urne ni la parité du nombre total de boules, ni la parité du nombre de boules jaunes
et que tous les autres remplacements changent ces deux parités.
Après un nombre fini d'opérations laissant trois boules dans l'urne,le nombre de boules jaunes doit donc être 1 ou 3 .
* * *
Il est possible qu'après un nombre fini d'opérations, il y ait une seule boule dans l'urne.
Afin de décrire des remplacements conduisant à cette possibilité,
convenons de représenter chaque fois par un triplet n,j,r les nombres de boules noires, jaunes et rouges dans l'urne.
Initialement 2010 0 0
après 1005 remplacements nn --> j 0 1005 0 après 502 remplacements jj --> nr 502 1 502 après 251 remplacements nn --> j
251 remplacements rr --> j 0 503 0 après 251 remplacements jj --> nr 251 1 251 après 125 remplacements nn --> j
125 remplacements rr --> j 1 251 1 en répétant le procédé, on obtient les étapes intermédiaires
126 1 126 0 127 0 63 1 63 1 63 1 32 1 32
...
0 3 0 1 1 1 et, moyennant deux remplacements 0 1 0
