A706 – Trois pesées suffisent Solution
Question n°1 : identifier la boule de masse différente parmi 9 boules.
Il y a deux façons d’aborder ce problème :
- la première la plus empirique consiste à répertorier après chaque pesée l’arborescence des pesées qui paraissent les plus pertinentes et à retenir celles qui permettent de recueillir le maximum d’informations soit pour mettre de côté les « bonnes » boules soit pour identifier la « mauvaise » boule. Si le nombre de boules est faible (ce qui est le cas de n=9) et si l’on sait répartir les boules dans les différentes pesées de façon rationnelle, cette méthode finit toujours par donner le résultat recherché mais elle a l’inconvénient d’être lourde et la généralisation à un nombre élevé de boules est impossible.
- la deuxième méthode consiste à établir une table de décision qui reste valable dans toutes les circonstances quel que soit le résultat de chacune des pesées. En d’autres termes, on décide à l’avance quelles seront les boules qui seront mises sur les plateaux de gauche et de droite de la balance au cours des pesées n°1,2 et 3. En fonction des résultats des trois pesées, on en déduit sans ambiguïté la boule de masse différente.
1ère méthode
Les boules sont numérotées 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
1ère pesée : boules 1, 2 et 3 sur le plateau de gauche et boules 4, 5 et 6 sur le plateau de droite.
A priori, il y a trois situations possibles : la balance penche à gauche, reste équilibrée, penche à droite.
On suppose par convention et sans rien enlever à la généralité de la démonstration que l’analyse peut se limiter aux deux premiers cas :
1er cas : le plateau penche à gauche
la boule fausse est numérotée 1 ou 2 ou 3 car elle est plus lourde ou bien elle est numérotée 4 ou 5 ou 6 car plus légère. Dans les deux cas, les boules 7, 8 et 9 sont bonnes.
On extrait les boules 2 et 3 du plateau de gauche et la boule 6 du plateau de droite qu’on remplace respectivement par les boules 7 et 8 d’une part et par la boule 9 d’autre part. Par ailleurs on intervertit les boules 1 et 4.
D’où la 2ème pesée :boules 4, 7 et 8 sur le plateau de gauche et 1, 5 et 9 sur le plateau de droite.
Trois cas sont possibles qu’il convient cette fois-ci d’analyser de façon exhaustive.
- les deux plateaux sont à l’équilibre la boule fausse est numérotée 2 ou 3 (car plus lourde) ou 6 (car plus légère)
D’où la 3ème pesée : boule 2 sur le plateau de gauche et boule 3 sur le plateau de droite.
Trois cas possibles et pour chacun d’eux on sait conclure : - la balance penche à gauche la boule 2 est la plus lourde - les 2 plateaux sont équilibrés la boule 6 est la plus légère
- la balance penche à droite la boule 3 est la plus lourde
- la balance penche à droite la boule fausse est numérotée 1 (car la plus lourde) ou 4 (car la plus légère). Ce ne peut pas être la boule 5 car le plateau aurait penché à droite lors de la 1ère pesée. On rappelle que les autres boules numérotées 7, 8 et 9 sont bonnes.
D’où la 3ème pesée : boule 1 sur le plateau de gauche et boule 2 (ou une boule bonne quelconque) sur le plateau de droite.
Deux cas sont possibles :
- les plateaux de la balance sont équilibrés la boule 4 est la plus légère.
- la balance penche à gauche la boule 1 est la plus lourde
- la balance penche à gauche la boule fausse est nécessairement numérotée 5.
Comme elle ne peut être que plus légère, une 3ème pesée est inutile sauf à titre de confirmation.
2ème cas : les plateaux sont équilibrées
la boule fausse est parmi les boules 7 ou 8 ou 9.
D’où la 2ème pesée : boule 7 sur le plateau de gauche et boule 8 sur le plateau de droite.
Trois cas sont possibles et leur analyse est immédiate.
- les deux plateaux sont à l’équilibre la boule fausse est numérotée 9. Une 3ème pesée avec une boule bonne donne le sens de la différence
- la balance penche à droite soit la boule 8 est la plus lourde soit la boule 7 est la plus légère tandis que la boule 9 est bonne. Une 3ème pesée de la boule 8 (par exemple) avec une
boule bonne permet d’identifier la boule fausse. Soit la balance se déséquilibre du côté de la boule 8 qui est la boule la plus lourde soit elle reste équilibrée et la boule fausse est numérotée 7 qui est la plus légère.
- la balance penche à gauche on est ramené au cas précédent en intervertissant les boules 7 et 8.
On constate que la méthode est assez fastidieuse et que pour 9 boules seulement plus d’une page d’explications a été remplie.
2ème méthode
Cette méthode repose sur l’observation simple que lors d’une pesée l’un des plateaux de la balance Roberval penche vers le bas (<) ou vers le haut (>) ou reste en équilibre (=). Il y a donc trois configurations possibles. Comme trois pesées sont permises, le nombre de résultats distincts correspond au nombre d’arrangements des trois symboles <, > et = avec répétitions possibles c’est à dire 3 =27. A titre d’exemples : > < < ou = = > ou < = > . 3
Si on utilise toutes les boules au cours des trois pesées et que l’on s’assure qu’aucune boule ne reste du même côté de la balance, alors les arrangements >>>, <<< et = = = n’apparaissent jamais. Le nombre d’arrangements est donc ramené à 24 mais 18 suffisent pour résoudre le problème et une correspondance biunivoque peut être établie entre chacun d’eux et le fait qu’une certaine boule est plus lourde ou plus légère que les huit autres.
Les 18 arrangements sont subdivisés en deux groupes de 9, chaque arrangement du second groupe étant le miroir d’un arrangement du premier groupe avec le symbole > remplacé par <
, le symbole < remplacé par > et le symbole = restant inchangé. Ils sont représentés dans deux tableaux de 3 rangées et de 9 colonnes chacun, le deuxième étant le miroir de du premier.
Dans chaque tableau, le numéro d’une colonne correspond à celui des boules numérotées de 1 à 9 et le numéro d’une rangée (1 ou 2 ou 3) correspond à celui de la pesée. Chaque rangée contient trois fois >, trois fois < et trois fois =.
Voici une description possible de 18 arrangements :
On vérifie que les 18 arrangements sont bien distincts entre eux et que ceux du tableau inférieur sont bien le miroir des arrangements du tableau supérieur. On dispose ainsi d’une table de décision.
On convient qu’une boule avec l’étiquette > est placée sur le plateau de gauche et avec l’étiquette < sur le plateau de droite. C’est ainsi que lors de la 1ère pesée définie par > > > < <
< = = =, on met les boules 1,2 et 3 sur le plateau de gauche et les boules 4,5 et 6 sur le plateau de droite. Puis à la 2ème pesée définie par < = = < < > > > = , on met les boules 6,7 et 8 sur le plateau de gauche et les boules 1,4 et 5 sur le plateau de droite. Enfin à la 3ème pesée on a les boules 2,4 et 7 sur le plateau de gauche et les boules 3,6 et 9 sur le plateau de droite.
On note les résultats des trois pesées :
- si le résultat est > < =, cela signifie que c’est la boule 1 la plus lourde, - si le résultat est = > = c’est la boule 8 la plus lourde etc..
- si le résultat est < > = qui se lit dans la 1ère colonne du tableau inférieur, c’est la boule 1 qui est la plus légère.
- et si le résultat est > < >, c’est la boule 6 qui est la plus légère etc…
Nota : 1) on peut construire un très grand nombre de tables de décisions distinctes. L’essentiel est qu’elles respectent les contraintes des 3x3 symboles par ligne, des 18 arrangements tous distincts et du tableau inférieur miroir du tableau supérieur.
2) le nombre de boules à chaque pesée est toujours le même (3 dans chaque plateau) et on effectue systématiquement les trois pesées car elles sont toutes trois indispensables pour conclure.
Question n°2 : est-il possible d’identifier une boule de masse différente parmi 12 boules en trois pesées ?
Oui, c’est possible et la 2ème méthode de la 1ère question nous permet de donner rapidement le mode opératoire. En effet les 24 arrangements dénombrés précédemment avec 3 pesées permettent d’établir une table de décision rigoureusement adaptée à la détermination de la boule de masse différente parmi 12 boules. Voici une table de décision possible avec les boules numérotées de 1 à 12:
1 > > > < < < = = =
2 < = = < < > > > =
3 = > < > = < > = <
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 < < < > > > = = =
2 > = = > > < < < =
3 = < > < = > < = >
Sur chaque rangée, on a réparti cette fois-ci 4 fois >, 4 fois < et 4 fois =.
A la 1ère pesée, les boules 1,2,3 et 4 sont à gauche et les boules 5,6,7,8 sont à droite. A la 2ème pesée, les boules 7,8,9 et 11 sont à gauche et les boules 1,5,6 et 10 à droite. Enfin à la 3ème pesée, les boules 2,5,8 et 9 sont à gauche et les boules 3,7,11 et 12 à droite.
L’interprétation de cette table de décision est la même qu’avec 9 boules. Avec le résultat = =
< c’est la boule 12 qui est la plus lourde, avec > > < c’est la boule 5 la plus légère.
Question n°3 : combien de pesées sont nécessaires pour identifier une boule de masse différente parmi n boules ?
On donne le résultat en renvoyant le lecteur à l’ouvrage de « Les casse-tête logiques » de Baillif (édition Dunod) pour avoir la démonstration.
Le nombre k de pesées nécessaires doit être tel que 3 2n + 3 ou encore k k
log(2n+3)/3.C’est ainsi qu’avec 3 pesées, le nombre de boules maximum est 12, qu’avec 4 pesées, le maximum est de 39 boules et avec 5 pesées, il est de 120 boules.
> > > > < < < < = = = =
< = = = < < > > > < > =
= > < = > = < > > = < <
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
< < < < > > > > = = = =
> = = = > > < < < > < =
= < > = < = > < < = > >
