A362. Les réversibles ***
Un entier n est appelé réversible s'il est un multiple k de l'entier m obtenu en lisant n de droite à gauche.Comme on écarte toute écriture non standard des entiers m et n commençant par un zéro, les entiers m et n ont le même nombre de chiffres.
Si k = 1, l'entier n est un palindrome. On s'intéresse ci-après aux seuls nombres réversibles qui ne sont pas des nombres palindromes.
Q1 Déterminer les valeurs possibles de k.
Q2 Pour chacune des valeurs de k précédemment déterminées, trouver tous les entiers réversibles de 10 chiffres.
Q1 : 1<k<10 (sinon m et n n'ont pas le même nombre de chiffres) k=4 et k=9 sont des valeurs possibles
Exemples : 2178⋅4=8712 et 1089⋅9=9801
Les valeurs 2,3,5,6,7 et 8 ne sont pas possibles pour k
En effet :
Soient n=a−−−−b m=b−−−−a ( m le « retourné » de n )
Si k=2 alors on cherche a−−−−b = 2⋅b−−−−a
=> b=1,2,3 ou 4 (sinon n trop grand) cas b=1 impossible (parité m et n )
cas b=2 alors a=4 ou a=5 ( a premier chiffre de n ) Dans ces deux cas le dernier chiffre de 2⋅a est différent de b donc impossible
cas b=3 alors a=6 ou a=7 ( a premier chiffre de n ) Dans ces deux cas le dernier chiffre de 2⋅a est différent de b donc impossible
cas b=4 alors a=8 ou a=9 ( a premier chiffre de n )
Dans ces deux cas le dernier chiffre de 2⋅a est différent de b donc impossible
Les remarques précédentes se résument dans le tableau ci-dessous :
On remarque que le dernier
chiffre de ka est différent de b
Si k=3 alors on cherche a−−−−b = 3⋅b−−−−a Le tableau sera :
Le chiffre de ka est différent de b
Si k=5
=> b=1 mais alors 5⋅a ne peut se terminer par 1
Si k=6
=> b=1 mais alors 6⋅a ne peut se terminer par 1
Si k=7
=> b=1 mais alors 7⋅a se termine par 1 ssi a=3 impossible car a ≥7
Si k=8
=> b=1 mais alors 8⋅a ne peut se terminer par 1
Q2 Soient n=ax … …..yb et m=by …...xa deux nombres de dix chiffres.
et m le retourné de n
Pour k=4
Si ax …...yb=4⋅by …..xa alors b≤2 sinon b⋅m trop grand mais b=1 ne joue pas (parité) donc b=2
alors a=8 ou a=9
8⋅4=32 et 9⋅4=36 donc seule possibilité : a=8 D'autre part y ≤3 sinon n trop grand
seule possibilité y=1 pour que n soit un multiple de 4
Finalement un automate permet de traiter les nombres de la forme : 8x …...1 2 On trouve alors trois solutions :
2178002178⋅4=8712008712 2197821978⋅4=8791287912 2199999978⋅4=8799999912
Pour k=9
Si ax …...yb=9⋅by …..xa alors b=1 et a=9 et y=0 ou y=1 sinon n trop grand
Un automate permet de trouver trois solutions : 1089001089⋅9=9801009801 1098910989⋅9=9890198901 1099999989⋅9=9899999901
