A381− Les amplificateurs [** à la main]
Un entier k strictement supérieur à 1 est appelé amplificateur d’ordre n ≥ 2 s'il existe n entiers positifs a₁,a₂,..,an pas nécessairement distincts tels que le produit (a₁ + 1).(a₂ + 1)…(an + 1) vaut k fois le produit de ces n entiers a₁a₂..an
A contrario, l'entier k est dit ordinaire.
Q₁ Démontrer que pour tout n ≥ 2, les amplificateurs d’ordre n sont en nombre fini. Déterminer en fonction de n le plus petit d’entre eux kn ,le plus grand d’entre eux Kn et pour n ≥ 5, les cinq plus grands d’entre eux.
Q₂ Pour n prenant respectivement les valeurs 2,3,4 et 5, calculer la somme des amplificateurs d’ordre n et déterminer le plus petit entier ordinaire.
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Solution proposée par Daniel Collignon
Q1
k=(1+1/a1)*...*(1+1/an)
2=<k=<2^n et il y a donc un nombre fini de valeurs de k pour n fixé Kn = 2^n est obtenu pour a1=...=an=1
kn = 2 est obtenu pour a1=2n-1, a2=2n-2 ..., an=n
Pour a1=...=an=1, 2^n=32*2^(n-5)
Pour a1=...=a_{n-1}=1 et a_n=2, 3*2^(n-2)=24*2^(n-5) Pour a1=...=a_{n-1}=1 et a_n=4, 5*2^(n-3)=20*2^(n-5
Pour a1=...=a_{n-2}=1 et a_{n-1}=a_n=2, 9*2^(n-4)=18*2^(n-5) Pour a1=...=a_{n-1}=1 et a_n=8, 9*2^(n-4)=18*2^(n-5)
Pour a1=...=a_{n-1}=1 et a_n=16, 17*2^(n-5)
Q2
n=2 : somme des amplificateurs 2+3+4=9 ; 5 est le plus petit entier ordinaire > 1
n=3 : somme des amplificateurs 2+3+4+5+6+8=28 ; 7 est le plus petit entier ordinaire > 1
n=4 : somme des amplificateurs 2+3+4+5+6+7+8+9+10+12+16=82 ; 11 est le plus petit entier ordinaire > 1 n=5 : somme des amplificateurs 2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+20+24+32=246 ; 19 est le plus petit entier ordinaire > 1
