A381. Les amplificateurs A3. Nombres remarquables
Problème proposé par Raymond Bloch
Un entier k strictement supérieur à 1 est appelé amplificateur d’ordre n ≥ 2 s'il existe n entiers positifs a1, a2, .., an pas nécessairement distincts tels que le produit (a1 + 1).(a2 + 1)…(an + 1) vaut k fois le produit de ces n entiers a1a2..an
A contrario, l'entier k est dit ordinaire.
Q1 Démontrer que pour tout n ≥ 2, les amplificateurs d’ordre n sont en nombre fini. Déterminer en fonction de n le plus petit d’entre eux kn, le plus grand d’entre eux Kn et pour n ≥ 5, les cinq plus grands d’entre eux.
Q2 Pour n prenant respectivement les valeurs 2, 3, 4 et 5, calculer la somme des amplificateurs d’ordre n et déterminer le plus petit entier ordinaire > 1.
Solution de Paul Voyer
Q1
On peut écrire :
an
a
k a 1
1 1 ...
1 1 1
2 1
≤ 2n. Le nombre des valeurs de k est donc fini.
Le plus petit est kn = 2, le plus grand Kn = 2n.
Exemples : n = 2, k = 2, a1 = 2, a2 = 3 (2+1)(3+1) = 3*4 = 2*(2*3), k2 = 2.
n = 2, k = 2² = 4, a1 = a2 = 1 (1+1)(1+1) = 2², K2 = 2n. k est le produit entier de fractions d'entiers
x x1
. (2/1, 3/2, 4/3, 5/4, 6/5, 7/6, etc) Pour n ≥ 5, les k sont obtenus en remplaçant depuis {2,2,2,2} les termes :
sans remplacement 32.2n-5 2 par 3/2, soit 24.2n-5 2 par 5/4, soit 20.2n-5 2x2 par 2 fois 3/2, 18.2n-5. 2 par 17/16,soit 17.2n-5. etc….
Q2
n = 2 2, 2 4 2, 3/2 3 3/2, 4/3 2 Somme des k2 = 9 n = 3 2, 2, 2 8
2, 2, 3/2 6 2, 2, 5/4 5 2, 3/2, 4/3 4 3/2, 3/2, 4/3 3 8/7,7/6,3/2 2 Somme des k3 = 28
N = 4 2, 2, 2, 2 16 2, 2, 2, 3/2 12 2, 2, 2, 5/4 10
2, 2, 2, 9/8 9 2, 2, 3/2, 4/3 8 2, 2, 3/2, 7/6 7 2, 3/2, 3/2, 4/3 6 3/2, 4/3, 5/4, 6/5 6 2, 3/2, 3/2, 10/9 5 2, 4/3, 4/3, 9/8 4 3/2,6/5,5/4,4/3 3 8/7,7/6,6/5,5/4 2
Somme des k4 = 82 (en ne comptant qu'une fois les doublons) N = 5 2, 2, 2, 2, 2 32
2, 2, 2, 2, 3/2 24
2, 2, 2, 2, 5/4 20
2, 2, 2, 3/2, 3/2 18
2, 2, 2, 2, 9/8 18
2,2,2,2,17/16 17 2, 2, 2, 3/2, 4/3 16 2, 2, 2, 3/2, 5/4 15 2, 2, 2, 3/2, 7/6 14 2,2,2,3/2,13/12 13 2, 2, 3/2, 3/2, 4/3 12 2,2,2,4/3,33/32 11 2, 2, 3/2, 4/3, 5/4 10 2, 2, 2, 9/8, 10/9 10 2, 2, 3/2, 4/3, 9/8 9 2, 2, 3/2, 7/6, 8/7 8 2, 2, 4/3, 4/3, 9/8 8 2, 2, 4/3, 5/4, 6/5 8 3/2, 4/3, 5/4, 6/5, 7/6 7 2, 3/2, 3/2, 7/6, 8/7 6 2, 3/2, 4/3, 5/4, 6/5 6 3/2, 3/2, 4/3, 4/3, 5/4 5 3/2, 3/2, 4/3, 7/6, 8/7 4 2/1,6/5,13/12,14/13,15/14 3 6/5,7/6,8/7,9/8,10/9 2
Somme des k5 = 246 (en ne comptant qu'une fois les doublons) Les plus petits ordinaires > 1 sont respectivement 5,7,11 et 19 pour n ≤ 5.
