A381− Les amplificateurs [** à la main]
Un entier k strictement supérieur à 1 est appelé amplificateur d’ordre n ≥ 2 s'il existe n entiers positifs a₁,a₂,..,an pas nécessairement distincts tels que le produit (a₁ + 1).(a₂ + 1)…(an + 1) vaut k fois le produit de ces n entiers a₁a₂..an
A contrario, l'entier k est dit ordinaire.
Q₁ Démontrer que pour tout n ≥ 2, les amplificateurs d’ordre n sont en nombre fini. Déterminer en fonction de n le plus petit d’entre eux kn ,le plus grand d’entre eux Kn et pour n ≥ 5, les cinq plus grands d’entre eux.
Q₂ Pour n prenant respectivement les valeurs 2,3,4 et 5, calculer la somme des amplificateurs d’ordre n et déterminer le plus petit entier ordinaire.
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Solution proposée par Raymond Bloch.
Soit k = (a1+1)/a1 *(a2+1)/a2*…*(an+1)/an un amplificateur d’ordre n.
Q1 Comme 1 < (ai+1)/ai ≤ 2 , 2 ≤ k ≤ 2n: le nombre d’amplificateurs d’ordre n est donc fini, étant majoré par 2n.
Le plus petit est kn = 2, et le plus grand Kn = 2n.
Comme 2k=(1+1)/1*k et k+1=(k+1)/k*k, on note que si k est un amplificateur d’ordre n, 2k et k+1 sont des amplificateurs d’ordre n+1.(**)
Q2
k=2 étant le seul amplificateur d’ordre 1, (**) permet de désigner (2,3,4), de somme 9, comme amplificateurs d’ordre 2, puisque 2=4/3*3/2. De même :
- amplificateurs d’ordre 3 : 2=8/7*7/6*3/2 et (**) désigne, à partir de (2,3,4), la liste (2,3,4,5,6,8) de somme 28. Si on veut se convaincre que 7 ne convient pas, supposons par l’absurde que
7=(a1+1)/a1*(a2+2)/a2*(a3+1)/a3 (***). Alors SPDG 7 divise a1+1, donc (a1+1)/a1≤7/6, et
≤(a1+1)/a1*(a2+2)/a2*(a3+1)/a3≤7/6*2*2 < 7, en contradiction avec (***).
- amplificateurs d’ordre 4 : 2=15/14*7/6*6/5*4/3, et (**)identifie à partir de (2,3,4,5,6,8) la liste (2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,16) de somme 82.
- amplificateurs d’ordre 5 : 2=28/27*9/8*8/7*6/5*94 et (**) fournit à partir de
(2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,16) la liste (2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,20,24,32) de somme 246. La présence du 15 est justifiée par 2/1*2/1*2/1*3/2*5/4=15.
- les plus petits entiers ordinaires pour n = 2 à 5 sont respectivement : 5,7,11et 19.
