Problème proposé par Raymond Bloch
Un entier k strictement supérieur à 1 est appelé amplificateur d’ordre n ≥ 2 s'il existe n entiers positifs a₁, a₂,.., an pas nécessairement distincts tels que le produit (a₁ + 1)(a₂ + 1)…(an + 1) vaut k fois le produit de ces n entiers a₁a₂..an
A contrario, l'entier k est dit ordinaire.
Q₁ Démontrer que pour tout n ≥ 2, les amplificateurs d’ordre n sont en nombre fini. Déterminer en fonction de n le plus petit d’entre eux kn ,le plus grand d’entre eux Kn et pour n ≥ 5, les cinq plus grands d’entre eux.
Q₂ Pour n prenant respectivement les valeurs 2, 3, 4 et 5, calculer la somme des amplificateurs d’ordre n et déterminer le plus petit entier ordinaire > 1
Nous noterons {a1, ..., an}=((a1+1)/a)...((an+1)/an)
Q1 : (a+1)/a≤2, donc k≤2n : les amplificateurs sont en nombre fini.
kn={n, n+1, ..., 2n-1}=2, et Kn={1, ..., 1}=2n. Avec ai=1 pour 1≤i≤n-1, on obtient pour an=2, 4, 8, 16 les valeurs suivantes de k : 3*2n-2, 5*2n-3, 9*2n-4, 17*2n-5
Q2 : Remarquons que si {a1, ..., an}=p, on a les formules (I) :{a1,..., an, p}=p+1,
(II) : {a1, ..., an, 1)=2p et, si q divise p, (III) : {a1, ..., an, q}=(q+1)p/q.
Pour n=2, k2={2, 3}=2, {1, 2}=3 et K2={1, 1}=4. La somme des amplificateurs est donc S2=2+3+4=9 et le premier entier ordinaire est O2=5
Pour n=3, k3={3, 4, 5}=2, {2, 2, 3}=3, {1, 2, 3}=4, {1, 1, 4}=5, {1, 1, 2}=6 et K3={1, 1, 1}=8 soit S3=2+3+4+5+6+8=26 et O3=7.
Pour n=4, k4={4, 5, 6, 7}=2 ; la formule (I) permet d’obtenir, à partir de l’étape précédente les nombres de 3 à 7 et 9, et (II) les nombres pairs jusqu’à 12 et K4=16.
Donc S4=2+3+4+5+6+7+8+9+10+12+16=82 et O4=11.
Pour n=5, k5={5, 6, 7, 8, 9} ; comme ci-dessus (I) permet d’obtenir les nombres de 3 à 11, 13 et 17, (II) les entiers pairs jusqu’à 20, ainsi que 24 et K5=32 ; enfin avec (III) : 15 et 18 avec q=2, et 14 pour p=12 et q=6.
Alors S5=2+3+ ...+17+18+20+24+32=246 et O5=19
