REPONSE EN FREQUENCE DES AMPLIFICATEURS OPERATIONNELS
REPONSE D'UN AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL EN BOUCLE OUVERTE La fonction de transfert en boucle ouverte d'un amplificateur opérationnel est généralement complexe avec plusieurs pôles ce qui peut poser des problèmes de stabilité. Il est donc impératif d'effectuer une compensation permettant d'obtenir une réponse du premier ordre de manière à ce que le fonctionnement soit inconditionnellement stable.
Il existe deux types d'amplificateur opérationnel:
• Les amplificateur opérationnel à compensation externe
• Les amplificateur opérationnel à compensation interne
Les premiers doivent être compensés par l'utilisateur en fonction de l'application, les seconds sont compensés de manière interne par le constructeur.
Nous ne considérerons par la suite que des amplificateurs opérationnels à compensation interne, dont la fonction de transfert en boucle ouverte est de la forme:
A( jω)= A0 1+ j ω
ω0
(1)
que nous pouvons écrire sous forme de Gain et Phase: A j( ω)= A j( ω) exp
[
jϕ ω( ) ]
Gain
A( jω) = A0 1+ ω
ω0
2 (2)
soit en dB
A( jω)dB = 20log A0 −10log 1+ ω ω0
2
(3)
Phase
ϕ(ω)= −Arctg ω ω0
(4) pour ω >>ω0 on peut faire l'approximation
A( jω)≅ A0 j ω
ω0
≅ A0ω0
jω
A( jω) = 1 pour ωt = A0.ω0
ωt est appelée pulsation de transition ou Produit Gain-Bande passante.
Gain
20logA0
ω0 ωt
0 (dB)
0° ω0
-90°
-45°
Phase
Diagramme de Bode d'un amplificateur à compensation interne en boucle ouverte
REPONSE D'UN AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL EN BOUCLE FERMEE
Considérons le système suivant:
ββββ
xe +-
xc
xi xs
A
L'amplificateur A est contre-réactionné par circuit de transmittance linéaire β.
On peut écrire d'une manière générale:
xs = A(xe-xc) = A(xe- ßxs) xs (1+ßA) = Axe
d'où
Ac= xs
xe = A 1+βA
Ac est la fonction de transfert en boucle fermée ßA est appelé gain de boucle.
La fonction de transfert de l'ensemble en boucle fermée Ac s'écrit donc:
AC(jω)= A( jω) 1+βA( jω) (5) En remplaçant A(jω) par son expression (1), il vient:
AC(jω)=
A0 1+βA0
1+ jω
ω0(1+βA0)
(6)
Posons:
ωoc = ω0 (1+β A0) et A0c = A0 1+βA0
nous pouvons écrire (6) sous la forme:
A0c = A0c 1+ jω
ω0c
(7)
ωoc est la pulsation de coupure à -3dB en boucle fermée
A0c est le gain statique en boucle fermée
En comparant cette expression à l'expression (1) donnant la réponse en boucle ouverte, on constate que la fréquence de coupure à -3dB en boucle fermée est (1+β A0) fois plus élevée qu'en boucle ouverte.
calculons le produit A0c . ωοc
A0cω0c = A0
+β ω0
(
1+βA0)
A0c . ωωωοοοοω c = A0 . ωωωο ωο ο = ωο = ω= ω= ωt
Le produit gain-pulsation de coupure est constant.
Si A0c = 1 on a ωοc = ωt d'où l'intérêt de ce paramètre.
Le produit Gain-Fréquence de coupure est une constante souvent appelée Produit Gain-Bande Passante et noté GBW
Gain
20logA0
20logA0c
ω
ω0 0c ωt
0
boucle ouverte
Boucle fermée (dB)
Diagramme de Bode en boucle ouverte et en boucle fermée
APPLICATION AU CAS DE L'AMPLIFICATEUR NON INVERSEUR La fonction de transfert d'un amplificateur non inverseur de gain fini A s'écrit:
G( jω)= 1+R2 R1
1
1+ 1 A(jω)(1+
R2 R1) en remplaçant A(jω) par sa valeur tirée de (1)
A( jω)= A0 1+ j ω
ω0
il vient:
G( jω)= 1+R2 R1
1
1+ jω
A0ω0(1+R2 R1)
= 1+ R2 R1
1
1+ jω ωt(1+ R2
R1)
La pulsation de coupure à -3dB est alors :
ω0c = A0ω0
1+ R2 R1
= ωt
1+ R2 R1 Le gain statique (ω = 0) étant
A0c=1+ R2 R1 on peut écrire
A0 . ω0 = A0c . ω0c = ωt
On vérifie bien que le produit Gain-Bande passante est constant.
FILTRE PASSE BAS DU PREMIER ORDRE
C2 +15V
-15V R1
R2
7 4 1
Ve Vs
On suppose que l'amplificateur opérationnel est idéal.
Soit Z2 l'impédance formée par R2 en parallèle avec C2.
1/Z2 = 1/R2 + jC2ω d'où Z2 = R2/(1+ jR2C2ω)
Le montage étant du type inverseur, sa fonction de transfert s'écrit: A(jω) = - Z2/R1 En remplaçant Z2 par son expression, il vient:
A( jω)= −R2 R1
1 1+jR2C2ω
calculons le module et l'argument pour faire apparaître le Gain et la phase:
A( jω) = R2 R1
1 1+(R2C2ω)2 ou en dB
A( jω) =20log R2
−10 log(1+(RCω)2)
ϕ(ω) = Arctg(0) -Arctg(R2C2ω) = -π -Arctg(R2C2ω)
Soit ω2 =1/ R2C2 Pour ω = 0 nous avons:
|A(0)| = R2/R1 |A(0)|dB = 20 log(R2/R1) gain statique ϕ(0) = -p
Pour ω = ω2 nous avons:
|A(ω2)|dB = 20 log(R2/R1) -10 log(2) log(2)=0,30103
|A(ω2)|dB = 20 log(R2/R1) -3dB ϕ(ω2) = -p -Arctg(1) = -225°
ω ω
ωω2222=1/ =1/ =1/ =1/ R2C2 est la pulsation de coupure à -3dB
calculons la pente de l'asymptote de chute du gain:
Pour ω = 10ω2 A(10ω2)|dB = 20 log(R2/R1) -10 log(101)=20 log(R2/R1) - 20dB ϕ(10ω2) = -180 -Arctg(10) = -264,3°˜ - (270°- 5,7°)
Pour ω = 100ω2 A(100ω2)|dB = 20 log(R2/R1) -10 log(101)=20log(R2/R1) - 40dB ϕ(100ω2) = -Arctg(100) = -269,4°˜ - (270°-0,57°)
ce qui représente une décroissance du gain de -20dB par décade Gain
20log
ωt 0
(dB)
-š
-3š/2
Phase
R R
2 1
ω2 =1/R2C2
ω2 =1/R2C2
pente -20dB/décade
-š-š/4
FILTRE PASSE HAUT DU PREMIER ORDRE (DIFFERENCIATEUR)
C1
+15V
-15V R1
R2
7 4 1
Ve Vs
On suppose que l'amplificateur opérationnel est idéal.
Soit Z1 l'impédance formée par R1 en série avec C1.
Z1 = R1 + 1/jC1ω d'où Z1 = (1+ jR1C1ω) / jC1ω
Le montage étant du type inverseur, sa fonction de transfert s'écrit: A(jω) = -R2 /Z1 En remplaçant Z1 par son expression, il vient:
A( jω)= − jR2C1ω 1+ jR1C1ω
calculons le module et l'argument pour faire apparaître le Gain et la phase:
A( jω) = R2C1ω 1+(R1C1ω)2
ϕ( jω)= −π
2 −Arctg(R1C1ω)
Posons ω1 =1/R1C1 et ω2 =1/R2C1
A( jω)= − j ω
ω2
1+ j ω ω1
on prend ω1>> ω2 c'est à dire R2 >> R1 ω1est la pulsation de coupure à -3dB ω2 est la pulsation de gain unitaire
en effet : A(ω2) = 1 1+(ω2
ω1
)2
≈1
Le diagramme de Bode du circuit est représenté ci dessous.
On notera que dans la démonstration précédente, on a considéré que l'amplificateur opérationnel était idéal. Dans la réalité il faut tenir compte de la réponse de l'amplificateur utilisé (représentée en pointillé sur la figure) qui limite la réponse aux fréquences élevées.
Gain
ωt
0 (dB)
-90°
-135°
Phase
20log R R
2
1 pente 20dB/décade
Réponse en boucle ouverte
ω1=1/R1C1
ω2=1/R2C1
-180°
ω1=1/R1C1
pente -20dB/décade
-270°
-225°
