PanaMaths Janvier 2008
On considère la série entière de la variable réelle :
5 0
!
n n
n x n
+∞
∑
=1. Déterminer son rayon de convergence R.
2. Calculer la somme pour tout x de
⎤⎦− R R ;
⎡⎣.
Analyse
La première question ne pose pas de problème particulier. Pour la deuxième, on fait apparaître des développements dérivés de celui de l’exponentielle.
Résolution
Question 1
On peut appliquer ici la règle de D’Alembert. En notant :
5 n ! a n
= n , il vient :
( )
( ) ( )
( ) ( )
5
5 5
1
5 5
5
1
1 ! 1 ! ! 1
lim lim lim lim
1 ! 1 !
!
1 1
lim 0 1 0
1
n
n n n n
n
n
n
n n
a n n n
n
a n n n n
n n
n n
+
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
→+∞
+
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + ⎛ + ⎞
= = ⎜⎜⎝ + × ⎟⎟⎠= ⎜⎜⎝ + ×⎜⎝ ⎟⎠ ⎟⎟⎠
⎛ ⎛ + ⎞ ⎞
= ⎜⎜⎝ + ×⎜⎝ ⎟⎠ ⎟⎟⎠= × =
On en déduit alors : R= +∞.
R= +∞
Question 2
L’idée générale consiste ici à transformer l’écriture de la puissance n5 en une somme de produits permettant de simplifier la factorielle du dénominateur. Cette transformation n’étant pas immédiate, nous la construisons à partir de puissances d’exposants plus petits.
PanaMaths Janvier 2008
On a :
( )
2 1
n =n n− +n
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
3 1 2 3 2 2
1 2 3 1 2
1 2 3 1
n n n n n n
n n n n n n n
n n n n n n
= − − + −
= − − + ⎡⎣ − + ⎤⎦−
= − − + − +
( )( )( )
( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )( ) ( )
4 1 2 3 6 3 11 2 6
1 2 3 6 1 2 3 1 11 1 6
1 2 3 6 1 2 7 1
n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n
= − − − + − +
= − − − + ⎡⎣ − − + − + ⎤⎦− ⎡⎣ − + ⎤⎦+
= − − − + − − + − +
( )( )( )( )
( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
5 4 3 2
1 2 3 4 10 35 50 24
1 2 3 4 10 1 2 3 6 1 2 7 1
35 1 2 3 1 50 1 24
1 2 3 4 10 1 2 3 25 1 2 15 1
n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n n n n
= − − − − + − + −
= − − − − + ⎡⎣ − − − + − − + − + ⎤⎦
− ⎡⎣ − − + − + ⎤⎦+ ⎡⎣ − + ⎤⎦−
= − − − − + − − − + − − + − +
Il vient alors :
( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5
0 0
5 4 3 2 1
5 4 3 2
0 0 0
1 2 3 4 10 1 2 3 25 1 2 15 1
! !
1 1 1 1 1
10 25 15
5 ! 4 ! 3 ! 2 ! 1 !
1 1 1 1
10 25 10
! ! ! !
n n
n n
n n n n n
n n n n n
n n n n
n n n n
n n n n n n n n n n n n n n
n x x
n n
x x x x x
n n n n n
x x x x
n n n n
+∞ +∞
= =
+∞ +∞ +∞ +∞ +∞
= = = = =
+∞ +∞ +∞
+ + + +
= = =
− − − − + − − − + − − + − +
=
= + + + +
− − − − −
= + + +
∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
( )
( )
1
0 0
5 4 3 2
0 0 0 0 0
5 4 3 2
0
4 3 2
1
!
1 1 1 1 1
10 25 10
! ! ! ! !
10 25 10 1
!
10 25 10 1
n n
n n n n n
n n n n n
n n
x
n x
x x x x x x x x x x
n n n n n
x x x x x x
n
x x x x x e
+∞ +∞
+
= =
+∞ +∞ +∞ +∞ +∞
= = = = =
+∞
=
+
= + + + +
= + + + +
= + + + +
∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑
Finalement :
( )
5
4 3 2
0
, 10 25 10 1
!
n x
n
x n x x x x x x e
n
+∞
=
∀ ∈\
∑
= + + + +PanaMaths Janvier 2008
Résultat final
( )
5
4 3 2
0
, 10 25 10 1
!
n x
n
x n x x x x x x e
n
+∞
=
∀ ∈\
