ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Maison 8 7 mars 2016
Exercice I.
- - - - > traiter au total 3 questions sur les8, selon le niveau demandé 1. Justier brièvement la convergence, et calculer la somme :
a. S=
+∞
X
n=0
−2
5n. (réservé CB1<6) b. S=
+∞
X
n=3
2n
3n. (réservé CB1<10)
c. S =
+∞
X
n=1
n2+n
4n+1 . (réservé CB1≥6) d. S =
+∞
X
n=2
4
(n+ 1)! − 3 n2
. (réservéCB1≥10) 2. Etudier la convergence des séries :
a. X
n≥0
1
2n3+ 4. (réservé CB1<6) b. X
n≥2
√n
nln(n). (réservé CB1<10)
c. X
n≥0
e−n
en+e−n. (réservé CB1≥6) d. X ln(n) +n1
n2−n−2. (réservé CB1≥10) Exercice II.
Une urneU1 contient deux boules bleues, et quatre autres urnes contiennent une boule bleue et une rouge.
On choisit une urne au hasard et on tiren boules avec remise dans cette urne.
On pourra donner des noms à certains évènements, par exemple : U1 ={l'urne tirée est l'urne 1}
Pourk∈[[1;n]], Bk={leke tirage donne une boule bleue}, et Rk=Bk. 1. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule bleue au premier tirage ?
2. On a obtenu une boule bleue au premier tirage. Quelle est la probabilité qu'elle provienne deU1? 3. Quelle est la probabilité d'obtenir nboules bleues lors desnpremiers tirages ?
4. Ayant obtenunboules bleues lors desnpremiers tirages, quelle est la probabilitépnd'avoir choisiU1? 5. Calculer la limite de pn quandntend vers +∞.
6. Interpréter le résultat précédent.
Exercice III.
Etudier la continuité et la dérivabilité de la fonctionf dénie sur Rpar f(x) =
x√
x
ex , six≥0 0 , six <0
. facultatif : étudier ses variations, sa convexité sur R+.
Exercice IV. (facultatif)
Vivement conseillés pour s'entrainer : Feuille 14. Espaces probabilisés innis. ex IX, VII, X
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